Решение Задания 22: График Функции с Модулем

Задание 22 Постройте график функции \( y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \right| + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) \) и определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Так как \( x \) находится в знаменателе, то \( x \neq 0 \). 2. Упростим выражение, используя определение модуля. Рассмотрим выражение внутри модуля: \[ f(x) = \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} = \frac{x^2 - 3,5^2}{3,5x} = \frac{(x - 3,5)(x + 3,5)}{3,5x} \] Выражение под модулем меняет знак в точках \( x = -3,5 \), \( x = 0 \) и \( x = 3,5 \). Случай 1: \( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \geq 0 \). Это выполняется при \( x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty) \). Тогда \( | \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} | = \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \). Подставим в исходную функцию: \[ y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{x}{3,5} \right) = \frac{x}{3,5} \] Случай 2: \( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} < 0 \). Это выполняется при \( x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 3,5) \). Тогда \( | \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} | = -\left( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \right) = \frac{3,5}{x} - \frac{x}{3,5} \). Подставим в исходную функцию: \[ y = \frac{1}{2} \left( \frac{3,5}{x} - \frac{x}{3,5} + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{3,5}{x} \right) = \frac{3,5}{x} \] Итоговая функция: \[ y = \begin{cases} \frac{x}{3,5}, & \text{если } x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty) \\ \frac{3,5}{x}, & \text{если } x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 3,5) \end{cases} \] 3. Описание графика: - На промежутке \( (-\infty; -3,5) \) — ветвь гиперболы \( y = \frac{3,5}{x} \). При \( x = -3,5 \), \( y = -1 \). - На промежутке \( [-3,5; 0) \) — отрезок прямой \( y = \frac{x}{3,5} \). При \( x = -3,5 \), \( y = -1 \). При \( x \to 0 \), \( y \to 0 \) (точка \( (0;0) \) выколота). - На промежутке \( (0; 3,5) \) — ветвь гиперболы \( y = \frac{3,5}{x} \). При \( x = 3,5 \), \( y = 1 \). При \( x \to 0 \), \( y \to +\infty \). - На промежутке \( [3,5; +\infty) \) — луч прямой \( y = \frac{x}{3,5} \). При \( x = 3,5 \), \( y = 1 \). 4. Определение количества общих точек с прямой \( y = m \): - При \( m < -1 \): прямая пересекает гиперболу в одной точке. - При \( m = -1 \): прямая проходит через точку стыка гиперболы и прямой, одна точка. - При \( -1 < m < 0 \): прямая пересекает отрезок прямой в одной точке. - При \( m = 0 \): общих точек нет (так как \( x \neq 0 \)). - При \( 0 < m < 1 \): общих точек нет (гипербола в этом диапазоне начинается от \( y = 1 \)). - При \( m = 1 \): прямая касается графика в точке стыка \( (3,5; 1) \), одна точка. - При \( m > 1 \): прямая пересекает и гиперболу, и луч, то есть две точки. Ровно одна общая точка будет при \( m \leq -1 \), при \( -1 < m < 0 \) и при \( m = 1 \). Объединяя первые два условия, получаем \( m < 0 \). Ответ: \( m < 0 \); \( m = 1 \).