Решение системы уравнений графическим способом: гипербола и парабола

Решение системы уравнений графическим способом. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} xy - 6 = 0 \\ x^2 + 7x = 2y \end{cases} \] 1. Выразим \(y\) из каждого уравнения: Из первого уравнения: \[ xy = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{x} \] Это гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях. Из второго уравнения: \[ 2y = x^2 + 7x \Rightarrow y = 0,5x^2 + 3,5x \] Это парабола, ветви которой направлены вверх. 2. Построим таблицу значений для гиперболы \( y = \frac{6}{x} \): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -1 & -2 & -3 & -6 & 6 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \] 3. Построим таблицу значений для параболы \( y = 0,5x^2 + 3,5x \): Найдем вершину параболы: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3,5}{2 \cdot 0,5} = -3,5 \] \[ y_0 = 0,5 \cdot (-3,5)^2 + 3,5 \cdot (-3,5) = 6,125 - 12,25 = -6,125 \] Таблица точек: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -7 & -6 & -4 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ \hline y & 0 & -3 & -6 & -6 & -5 & -3 & 4 \\ \hline \end{array} \] 4. Нахождение точек пересечения: При построении графиков на координатной плоскости мы увидим, что кривые пересекаются в трех точках. Проверим аналитически (подставим \( y = \frac{6}{x} \) во второе уравнение): \[ \frac{6}{x} = 0,5x^2 + 3,5x \] \[ 12 = x^3 + 7x^2 \] \[ x^3 + 7x^2 - 12 = 0 \] Методом подбора находим целый корень \( x = -2 \). Если \( x_1 = -2 \), то \( y_1 = \frac{6}{-2} = -3 \). Точка \((-2; -3)\). При дальнейшем исследовании функции или точном построении находятся еще две точки пересечения (приблизительные значения): \( x_2 \approx 1,2 \); \( y_2 \approx 5 \) \( x_3 \approx -6,2 \); \( y_3 \approx -1 \) Ответ: \((-2; -3)\), остальные точки определяются по графику (примерно \((1,2; 5)\) и \((-6,2; -1)\)).