Решение задачи 22

Задание 22. Решение: 1. Упростим выражение функции: \[ y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \right| + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) \] Заметим, что выражение имеет вид \( \frac{1}{2}(|a| + a) \). По определению модуля: Если \( a \ge 0 \), то \( \frac{1}{2}(a + a) = a \). Если \( a < 0 \), то \( \frac{1}{2}(-a + a) = 0 \). В нашем случае \( a = \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \). Следовательно: \[ y = \begin{cases} \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x}, & \text{если } \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \ge 0 \\ 0, & \text{если } \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} < 0 \end{cases} \] 2. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x \neq 0 \). 3. Решим неравенство \( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \ge 0 \): \[ \frac{x^2 - 3,5^2}{3,5x} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x - 3,5)(x + 3,5)}{3,5x} \ge 0 \] Методом интервалов получаем: \( x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty) \). Таким образом, функция принимает вид: \[ y = \begin{cases} \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x}, & \text{при } x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty) \\ 0, & \text{при } x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 3,5) \end{cases} \] 4. Построение графика: - На промежутках \( (-\infty; -3,5) \) и \( (0; 3,5) \) график — это отрезки прямой \( y = 0 \) (ось \( Ox \)). - На промежутках \( [-3,5; 0) \) и \( [3,5; +\infty) \) график — это части гиперболы. - Точки стыка: при \( x = -3,5 \), \( y = 0 \); при \( x = 3,5 \), \( y = 0 \). - При \( x \to 0^- \), \( y \to +\infty \). 5. Исследование количества общих точек с прямой \( y = m \): - Если \( m < 0 \), общих точек нет. - Если \( m = 0 \), прямая совпадает с участками графика на оси \( Ox \), точек бесконечно много. - Если \( m > 0 \), прямая пересекает график в двух местах: одну ветку гиперболы слева от нуля и одну ветку справа. - Однако, есть исключение. При \( m > 0 \) прямая всегда пересекает левую ветку (где \( x \in [-3,5; 0) \)). Чтобы была ровно одна точка, прямая не должна пересекать правую ветку. Правая ветка начинается от точки \( (3,5; 0) \) и уходит в бесконечность. Но так как при \( x > 3,5 \) функция \( y = \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \) монотонно возрастает от 0 до \( +\infty \), она будет пересечена любой прямой \( y = m > 0 \). Перепроверим характер функции на \( [-3,5; 0) \). Пусть \( f(x) = \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \). \( f'(x) = \frac{1}{3,5} + \frac{3,5}{x^2} \). Производная всегда положительна, функция возрастает. На интервале \( [-3,5; 0) \) значения функции меняются от \( f(-3,5) = 0 \) до \( +\infty \). На интервале \( [3,5; +\infty) \) значения функции меняются от \( f(3,5) = 0 \) до \( +\infty \). Значит, при любом \( m > 0 \) прямая \( y = m \) пересечет график ровно в двух точках (одна точка в интервале \( (-3,5; 0) \), другая в интервале \( (3,5; +\infty) \)). При \( m = 0 \) точек бесконечно много. При \( m < 0 \) точек нет. В данной задаче, исходя из анализа функции, нет таких значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Ответ: таких значений \( m \) не существует.