Нахождение параметра a в тригонометрической функции

Дана функция: \[ y = 6 \sin 1,5x - 8 \cos 1,5x + a \] Необходимо найти значение параметра \( a \), при котором наибольшее значение этой функции равно \( M = 17 \). Решение: 1. Рассмотрим выражение \( 6 \sin 1,5x - 8 \cos 1,5x \). Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Для выражения вида \( A \sin \omega x + B \cos \omega x \) амплитуда (максимальное отклонение от нуля) вычисляется по формуле: \[ C = \sqrt{A^2 + B^2} \] 2. В нашем случае \( A = 6 \), а \( B = -8 \). Вычислим значение \( C \): \[ C = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] 3. Таким образом, выражение \( 6 \sin 1,5x - 8 \cos 1,5x \) можно представить в виде \( 10 \sin(1,5x + \phi) \), где \( \phi \) — вспомогательный угол. Известно, что область значений функции синуса лежит в пределах от \( -1 \) до \( 1 \): \[ -1 \le \sin(1,5x + \phi) \le 1 \] 4. Следовательно, область значений выражения \( 10 \sin(1,5x + \phi) \) будет: \[ -10 \le 10 \sin(1,5x + \phi) \le 10 \] 5. Теперь запишем область значений для всей функции \( y \), прибавив параметр \( a \): \[ -10 + a \le y \le 10 + a \] 6. Наибольшее значение функции равно \( 10 + a \). По условию задачи оно должно быть равно \( M = 17 \). Составим уравнение: \[ 10 + a = 17 \] 7. Решим уравнение: \[ a = 17 - 10 \] \[ a = 7 \] Ответ: \( a = 7 \).