Решение задачи №482: Площадь равнобедренной трапеции

Ниже представлено решение задачи №482 из учебника, оформленное для записи в тетрадь. Задача №482 Дано: ABCD — равнобедренная трапеция (AB = CD, BC || AD). \( \angle B = 135^\circ \) (тупой угол). BH — высота, \( H \in AD \). AH = 1,4 см, HD = 3,4 см. Найти: \( S_{ABCD} \) Решение: 1. Найдем длину большего основания AD. Так как высота BH делит основание AD на отрезки AH и HD, то: \[ AD = AH + HD = 1,4 + 3,4 = 4,8 \text{ (см)} \] 2. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований. Формула средней линии (полусуммы оснований): \[ m = \frac{BC + AD}{2} \] Из свойств равнобедренной трапеции известно, что отрезок HD (от проекции вершины до дальнего угла) равен полусумме оснований: \[ HD = \frac{BC + AD}{2} = 3,4 \text{ (см)} \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (\( \angle H = 90^\circ \)). Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \( 180^\circ \). \[ \angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] Так как в треугольнике ABH один угол \( 45^\circ \), а другой \( 90^\circ \), то третий угол \( \angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, и его катеты равны: \[ BH = AH = 1,4 \text{ (см)} \] Высота трапеции \( h = 1,4 \) см. 4. Вычислим площадь трапеции по формуле: \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH \] Подставим известные значения (полусумма оснований нам уже известна из шага 2): \[ S = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: 4,76 \( \text{см}^2 \).