Решение задач по комбинаторике: слово БУРАН и выбор предметов

Задача 1. В слове БУРАН 5 различных букв (Б, У, Р, А, Н). 1) Если «слово» состоит ровно из трех букв, то количество способов выбрать и расставить их (размещения без повторений) равно: \[ A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \] 2) Если «слово» содержит не менее трех букв, это значит, что оно может состоять из 3, 4 или 5 букв. Для 4 букв: \[ A_5^4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \] Для 5 букв: \[ A_5^5 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \] Всего способов: \[ 60 + 120 + 120 = 300 \] Ответ: 60; 300. Задача 2. По правилу сложения, если нужно выбрать один предмет из нескольких групп, количество способов равно сумме количеств предметов в каждой группе. \[ 12 + 15 + 7 = 34 \] Ответ: 34 способа. Задача 3. Так как порядок занятий в расписании важен, используем формулу размещений из 10 по 4: \[ A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \] Ответ: 5040 способов. Задача 4. Сначала выберем 3 мальчиков из 10 и 3 девочек из 10. Количество способов выбрать мальчиков: \[ C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \] Количество способов выбрать девочек: \[ C_{10}^3 = 120 \] Теперь нужно распределить выбранных девочек по командам к выбранным мальчикам. Первую девочку можно отправить к любому из 3 мальчиков, вторую — к любому из 2 оставшихся, третью — к последнему. Это \( 3! = 6 \) способов. Итого: \[ 120 \cdot 120 \cdot 6 = 14400 \cdot 6 = 86400 \] Ответ: 86400 способов. Задача 5. Рассмотрим количество вариантов для каждой позиции в четырехзначном числе: 1) На первое место можно поставить любую цифру от 1 до 9 (0 нельзя) — 9 вариантов. 2) На второе место можно поставить любую цифру от 0 до 9, кроме той, что на первом месте — 9 вариантов. 3) На третье место можно поставить любую цифру, кроме той, что на втором месте — 9 вариантов. 4) На четвертое место можно поставить любую цифру, кроме той, что на третьем месте — 9 вариантов. Общее количество чисел: \[ 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 9^4 = 6561 \] Ответ: 6561 число.