Решение задач по комбинаторике

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 8. Условие: Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов? Решение: Так как нам нужно выбрать 3 студентов разных курсов, это означает, что мы должны взять ровно по одному человеку с каждого курса (одного с 1-го, одного со 2-го и одного с 3-го). Количество способов выбрать одного студента с каждого курса равно произведению количеств студентов на каждом курсе: \[ N = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120 \] Ответ: 120 способов. Задача 9. Условие: Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом? Решение: 1) Случай, когда три книги стоят рядом: Представим эти 3 книги как один блок (одну "суперкнигу"). Тогда у нас получается 5 объектов (этот блок и остальные 4 книги). Количество способов расставить 5 объектов равно \( 5! \). Внутри самого блока 3 книги можно переставлять между собой \( 3! \) способами. Общее количество способов: \[ N_{рядом} = 5! \cdot 3! = 120 \cdot 6 = 720 \] 2) Случай, когда три книги стоят не рядом: Сначала найдем общее количество способов расставить 7 книг: \[ N_{всего} = 7! = 5040 \] Чтобы найти количество способов, когда они не стоят рядом, вычтем из общего числа способов те, где они стоят рядом: \[ N_{не рядом} = N_{всего} - N_{рядом} = 5040 - 720 = 4320 \] Ответ: рядом — 720 способов; не рядом — 4320 способов. Задача 10. Условие: Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга). Решение: При рассадке за круглым столом важны не абсолютные места, а взаимное расположение. Поэтому одного человека мы фиксируем на любом месте, а остальных \( (n-1) \) человек расставляем по кругу. Формула для числа круговых перестановок: \( P_{круг} = (n - 1)! \). Для 5 человек: \[ N = (5 - 1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \] Ответ: 24 способа. Задача 11. Условие: 10 студентов, среди которых С. Федин и А. Шилов, случайным образом занимают очередь. Сколько имеется вариантов расстановки, когда между Фединым и Шиловым окажутся 6 студентов? Решение: Всего в очереди 10 мест. Если между двумя студентами (Ф. и Ш.) должно быть 6 человек, то они могут занимать следующие позиции: - 1-я и 8-я (между ними места 2, 3, 4, 5, 6, 7 — итого 6 мест); - 2-я и 9-я; - 3-я и 10-я. Итого 3 варианта расположения пары мест. В каждой такой паре Федин и Шилов могут меняться местами (2 варианта: Ф...Ш или Ш...Ф). Остальные 8 студентов могут располагаться на оставшихся 8 местах произвольно, что дает \( 8! \) вариантов. Общее количество способов: \[ N = 3 \cdot 2 \cdot 8! = 6 \cdot 40320 = 241920 \] Ответ: 241920 вариантов.