Решение задачи 6.1.45: Выбор победителей в конкурсе

Задача 6.1.45. Дано: Пианистов — 4 Скрипачей — 5 Баянистов — 6 Нужно отобрать по 3 победителя в каждой номинации. Решение: Так как порядок выбора победителей внутри одной номинации не важен (все трое становятся победителями), используем формулу сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] 1) Выберем 3 победителя из 4 пианистов: \[ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 \] 2) Выберем 3 победителя из 5 скрипачей: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \] 3) Выберем 3 победителя из 6 баянистов: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20 \] По правилу произведения общее количество способов равно: \[ N = C_4^3 \cdot C_5^3 \cdot C_6^3 = 4 \cdot 10 \cdot 20 = 800 \] Ответ: 800 способами. Задача 6.1.46. Дано: Цвета: красный, желтый, зеленый, черный (всего 4 цвета). Флаг из 3 вертикальных полос. Условие: одна из полос обязательно зеленая, цвета не повторяются. Решение: 1) Найдем общее количество способов составить флаг из 3 разных цветов из 4 имеющихся. Так как порядок полос важен, используем размещения: \[ A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \] 2) Найдем количество способов составить флаг, в котором вообще нет зеленого цвета. Это значит, что мы выбираем 3 цвета из 3 оставшихся (красный, желтый, черный): \[ A_3^3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \] 3) Чтобы найти количество флагов, где хотя бы одна полоса зеленая, нужно из общего числа вариантов вычесть варианты без зеленого цвета: \[ N = A_4^3 - A_3^3 = 24 - 6 = 18 \] Ответ: 18 способами.