Нахождение координат вершины параболы

Задание №1. Найдите координаты вершины параболы. Для нахождения координат вершины параболы \( (m; n) \) используются формулы: \[ m = -\frac{b}{2a} \] \[ n = f(m) \] а) \( f(x) = x^2 - 6x + 4 \) Коэффициенты: \( a = 1, b = -6, c = 4 \). \[ m = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ n = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5 \] Ответ: (3; -5). б) \( f(x) = -x^2 - 4x + 1 \) Коэффициенты: \( a = -1, b = -4, c = 1 \). \[ m = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2 \] \[ n = f(-2) = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5 \] Ответ: (-2; 5). в) \( f(x) = 3x^2 - 12x + 2 \) Коэффициенты: \( a = 3, b = -12, c = 2 \). \[ m = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ n = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 24 + 2 = 12 - 24 + 2 = -10 \] Ответ: (2; -10). Задание №2. Исследование функции \( f(x) = x^2 - 6x + 4 \). Для построения графика используем вершину (3; -5) и дополнительные точки: При \( x = 0, f(0) = 4 \). При \( x = 1, f(1) = 1 - 6 + 4 = -1 \). При \( x = 2, f(2) = 4 - 12 + 4 = -4 \). При \( x = 4, f(4) = 16 - 24 + 4 = -4 \). При \( x = 5, f(5) = 25 - 30 + 4 = -1 \). При \( x = 6, f(6) = 36 - 36 + 4 = 4 \). а) Нули функции (точки пересечения с осью OX): Для нахождения нулей решим уравнение \( x^2 - 6x + 4 = 0 \). \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \] \[ x_1 = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = 3 - \sqrt{5} \approx 0,8 \] \[ x_2 = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = 3 + \sqrt{5} \approx 5,2 \] Промежутки знака функции: \( f(x) < 0 \) при \( x \in (3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}) \) \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; 3 - \sqrt{5}) \cup (3 + \sqrt{5}; +\infty) \) б) Промежутки монотонности и экстремум: Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 3] \). Функция возрастает на промежутке \( [3; +\infty) \). Наименьшее значение функции: \( y_{min} = -5 \) (достигается при \( x = 3 \)).