Решение задачи о шестиугольнике NPQRST

Задача №1 Дано: Шестиугольник \(NPQRST\). Диагональ \(NR \parallel PQ\) и \(NR \parallel ST\). \(\angle NPQ = 108^{\circ}\) \(\angle NTS = 108^{\circ}\) \(\angle RST = 135^{\circ}\) \(\angle PQR = 117^{\circ}\) Найти: \(\angle PNT\), \(\angle QRS\) Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник \(NPQR\). Так как \(NR \parallel PQ\), то углы \(\angle PQR\) и \(\angle QRN\) являются односторонними при параллельных прямых и секущей \(QR\). Их сумма равна \(180^{\circ}\). \[ \angle QRN = 180^{\circ} - \angle PQR = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \] Аналогично, углы \(\angle NPQ\) и \(\angle PNR\) являются односторонними при параллельных прямых и секущей \(NP\). \[ \angle PNR = 180^{\circ} - \angle NPQ = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \] 2. Рассмотрим четырехугольник \(NRST\). Так как \(NR \parallel ST\), то углы \(\angle RST\) и \(\angle SRN\) являются односторонними при параллельных прямых и секущей \(RS\). \[ \angle SRN = 180^{\circ} - \angle RST = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \] Аналогично, углы \(\angle NTS\) и \(\angle TNR\) являются односторонними при параллельных прямых и секущей \(NT\). \[ \angle TNR = 180^{\circ} - \angle NTS = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \] 3. Находим искомые углы шестиугольника: Угол \(\angle PNT\) состоит из суммы углов \(\angle PNR\) и \(\angle TNR\): \[ \angle PNT = \angle PNR + \angle TNR = 72^{\circ} + 72^{\circ} = 144^{\circ} \] Угол \(\angle QRS\) состоит из суммы углов \(\angle QRN\) и \(\angle SRN\): \[ \angle QRS = \angle QRN + \angle SRN = 63^{\circ} + 45^{\circ} = 108^{\circ} \] Ответ: \(\angle PNT = 144^{\circ}\) \(\angle QRS = 108^{\circ}\)