Решение задачи 10 про дерево и длину цепи

Ниже представлены решения задач с листа, оформленные для записи в тетрадь. Задача 10. Условие: На рисунке изображено дерево. Рассмотри цепи, соединяющие начальную вершину S с концевыми. Сколько таких цепей имеют длину 3? Решение: Длина цепи в дереве определяется количеством ребер (отрезков) от начальной вершины до концевой. Проследим пути от точки S: 1) Путь влево-вверх: \(S \rightarrow\) узел \(\rightarrow\) узел \(\rightarrow\) лист (длина 3). 2) Путь влево-вниз: \(S \rightarrow\) узел \(\rightarrow\) узел \(\rightarrow\) лист (длина 3). 3) Путь вправо-вверх: \(S \rightarrow\) узел \(\rightarrow\) узел \(\rightarrow\) лист (длина 3). 4) Путь вправо-вниз: \(S \rightarrow\) узел \(\rightarrow\) узел \(\rightarrow\) лист (длина 3). Остальные пути имеют другую длину. Ответ: 4. Задача 11. Условие: На каких рисунках изображены деревья? Решение: Дерево — это связный граф без циклов. А — дерево (связно, нет циклов). Б — дерево (связно, нет циклов). В — не дерево (содержит цикл — замкнутый контур). Г — дерево (тривиальное дерево из одной вершины). Д — не дерево (содержит циклы). Ответ: А, Б, Г. Задача 12. Условие: На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта с началом в точке S. Сколько элементарных событий в этом опыте? Решение: В дереве случайного опыта количество элементарных событий равно количеству концевых вершин (листьев), так как каждый путь от корня к листу соответствует одному исходу. Посчитаем количество точек на концах веток: Верхняя ветвь дает 3 исхода, средняя — 2 исхода, нижняя — 3 исхода. Итого: \(3 + 2 + 3 = 8\). Ответ: 8. Задача 13. Условие: Сколько концевых вершин в дереве на рисунке? Решение: Концевая вершина (лист) — это вершина, степень которой равна 1 (из которой не выходят дальнейшие ребра, кроме того, по которому мы пришли). Аккуратно пересчитаем все крайние точки на рисунке: Слева внизу — 2, слева вверху — 2, сверху — 1, справа вверху — 1, справа внизу — 1. Всего: \(2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7\). Ответ: 7. Задача 14. Условие: На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта с началом в точке S. Сколько элементарных событий в этом опыте соответствует событию C? Решение: Событие C отмечено на одном из узлов дерева. Элементарные события, соответствующие этому узлу, — это все исходы (концевые вершины), которые достижимы, если пройти через точку C. Из точки C выходят три ветви, каждая из которых заканчивается концевой вершиной. Следовательно, событию C соответствует 3 элементарных события. Ответ: 3.