Решение задачи №2: Найти углы шестиугольника KLMNPQ

Задание №2 Дано: Шестиугольник \(KLMNPQ\). Диагональ \(KN \parallel LM\) и \(KN \parallel PQ\). \(\angle LMN = 116^{\circ}\) \(\angle NPQ = 116^{\circ}\) \(\angle MLK = 146^{\circ}\) \(\angle PQK = 109^{\circ}\) Найти: \(\angle MNP\), \(\angle LKQ\). Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник \(KLMN\). Так как \(LM \parallel KN\), то этот четырехугольник является трапецией. В ней углы при боковых сторонах в сумме дают \(180^{\circ}\) (как внутренние односторонние при параллельных прямых). Следовательно: \[\angle MLK + \angle LKN = 180^{\circ}\] \[\angle LKN = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ}\] Аналогично для второй боковой стороны: \[\angle LMN + \angle MNK = 180^{\circ}\] \[\angle MNK = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ}\] 2. Рассмотрим четырехугольник \(KNPQ\). Так как \(PQ \parallel KN\), это также трапеция. Найдем ее углы: \[\angle NPQ + \angle PNK = 180^{\circ}\] \[\angle PNK = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ}\] И для другой стороны: \[\angle PQK + \angle QKN = 180^{\circ}\] \[\angle QKN = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}\] 3. Вычислим искомые углы шестиугольника: Угол \(\angle MNP\) состоит из суммы углов \(\angle MNK\) и \(\angle PNK\): \[\angle MNP = \angle MNK + \angle PNK = 64^{\circ} + 64^{\circ} = 128^{\circ}\] Угол \(\angle LKQ\) состоит из суммы углов \(\angle LKN\) и \(\angle QKN\): \[\angle LKQ = \angle LKN + \angle QKN = 34^{\circ} + 71^{\circ} = 105^{\circ}\] Ответ: \(\angle MNP = 128^{\circ}\), \(\angle LKQ = 105^{\circ}\).