Решение системы уравнений: 3x - 2y + xy = 4 и 3x - 2y - xy = 2

Решение систем уравнений с доски. Система №1: \[ \begin{cases} 3x - 2y + xy = 4 \\ 3x - 2y - xy = 2 \end{cases} \] Решим систему методом сложения и вычитания уравнений. 1. Сложим первое и второе уравнения: \[ (3x - 2y + xy) + (3x - 2y - xy) = 4 + 2 \] \[ 6x - 4y = 6 \] Разделим обе части на 2: \[ 3x - 2y = 3 \] Отсюда выразим \( 2y \): \[ 2y = 3x - 3 \] 2. Вычтем из первого уравнения второе: \[ (3x - 2y + xy) - (3x - 2y - xy) = 4 - 2 \] \[ 2xy = 2 \] \[ xy = 1 \] 3. Подставим выражение для \( y \) из второго шага в первое. Из \( xy = 1 \) следует, что \( y = \frac{1}{x} \) (при \( x \neq 0 \)). Подставим в уравнение \( 3x - 2y = 3 \): \[ 3x - 2 \cdot \frac{1}{x} = 3 \] Умножим всё уравнение на \( x \): \[ 3x^2 - 2 = 3x \] \[ 3x^2 - 3x - 2 = 0 \] 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 9 + 24 = 33 \] \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{6} \] 5. Найдем соответствующие значения \( y \), используя \( y = \frac{1}{x} \): \[ y_1 = \frac{1}{\frac{3 + \sqrt{33}}{6}} = \frac{6}{3 + \sqrt{33}} = \frac{6(3 - \sqrt{33})}{9 - 33} = \frac{6(3 - \sqrt{33})}{-24} = \frac{\sqrt{33} - 3}{4} \] \[ y_2 = \frac{1}{\frac{3 - \sqrt{33}}{6}} = \frac{6}{3 - \sqrt{33}} = \frac{6(3 + \sqrt{33})}{9 - 33} = \frac{6(3 + \sqrt{33})}{-24} = -\frac{3 + \sqrt{33}}{4} \] Ответ к системе №1: \( (\frac{3 + \sqrt{33}}{6}; \frac{\sqrt{33} - 3}{4}) \), \( (\frac{3 - \sqrt{33}}{6}; -\frac{3 + \sqrt{33}}{4}) \). Система №2: \[ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y - 2x}{5} = \frac{4}{3} \\ \frac{y}{2} + \frac{5}{6} = \frac{x + y}{3} \end{cases} \] 1. Избавимся от знаменателей. Первое уравнение умножим на 15, второе на 6: \[ \begin{cases} 5x - 3(y - 2x) = 20 \\ 3y + 5 = 2(x + y) \end{cases} \] 2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ \begin{cases} 5x - 3y + 6x = 20 \\ 3y + 5 = 2x + 2y \end{cases} \] \[ \begin{cases} 11x - 3y = 20 \\ -2x + y = -5 \end{cases} \] 3. Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = 2x - 5 \] 4. Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 11x - 3(2x - 5) = 20 \] \[ 11x - 6x + 15 = 20 \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] 5. Найдем \( y \): \[ y = 2 \cdot 1 - 5 = -3 \] Ответ к системе №2: \( (1; -3) \).