Решение системы неравенств: 11x²-44x-495<0 и 7x²-70x-168≥0

Решение системы неравенств: \[ \begin{cases} 11x^2 - 44x - 495 < 0 \\ 7x^2 - 70x - 168 \geq 0 \end{cases} \] 1. Решим первое неравенство: \( 11x^2 - 44x - 495 < 0 \). Разделим обе части на 11: \[ x^2 - 4x - 45 < 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 4x - 45 = 0 \) через дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2 \] \[ x_1 = \frac{4 - 14}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9 \] Так как знак неравенства \( < 0 \), решением является интервал между корнями: \[ x \in (-5; 9) \] 2. Решим второе неравенство: \( 7x^2 - 70x - 168 \geq 0 \). Разделим обе части на 7: \[ x^2 - 10x - 24 \geq 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 10x - 24 = 0 \): \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2 \] \[ x_3 = \frac{10 - 14}{2} = -2, \quad x_4 = \frac{10 + 14}{2} = 12 \] Так как знак неравенства \( \geq 0 \), решением являются внешние промежутки: \[ x \in (-\infty; -2] \cup [12; +\infty) \] 3. Найдем пересечение решений: Нам нужно найти такие \( x \), которые одновременно удовлетворяют условиям: \[ \begin{cases} -5 < x < 9 \\ x \leq -2 \text{ или } x \geq 12 \end{cases} \] Рассмотрим числовую прямую: - Интервал \( (-5; 9) \) пересекается с лучом \( (-\infty; -2] \) на промежутке \( (-5; -2] \). - Интервал \( (-5; 9) \) не имеет общих точек с лучом \( [12; +\infty) \), так как \( 9 < 12 \). Следовательно, общим решением системы является промежуток \( (-5; -2] \). Ответ: \( x \in (-5; -2] \)