Решение системы неравенств: -15x^2 + 240x + 540 ≥ 0, -9x^2 + 81x + 630 < 0

Решение системы неравенств: \[ \begin{cases} -15x^2 + 240x + 540 \geq 0 \\ -9x^2 + 81x + 630 < 0 \end{cases} \] 1. Решим первое неравенство: \( -15x^2 + 240x + 540 \geq 0 \). Разделим обе части на \( -15 \), при этом знак неравенства изменится на противоположный: \[ x^2 - 16x - 36 \leq 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 16x - 36 = 0 \) по теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 16 \\ x_1 \cdot x_2 = -36 \end{cases} \] Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 18 \). Так как знак неравенства \( \leq 0 \), решением является отрезок между корнями: \[ x \in [-2; 18] \] 2. Решим второе неравенство: \( -9x^2 + 81x + 630 < 0 \). Разделим обе части на \( -9 \), знак неравенства изменится на противоположный: \[ x^2 - 9x - 70 > 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 9x - 70 = 0 \): \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2 \] \[ x_3 = \frac{9 - 19}{2} = -5, \quad x_4 = \frac{9 + 19}{2} = 14 \] Так как знак неравенства \( > 0 \), решением являются внешние интервалы: \[ x \in (-\infty; -5) \cup (14; +\infty) \] 3. Найдем пересечение решений: Нам нужно найти общие значения для условий: \[ \begin{cases} -2 \leq x \leq 18 \\ x < -5 \text{ или } x > 14 \end{cases} \] - Промежуток \( [-2; 18] \) не пересекается с лучом \( (-\infty; -5) \), так как \( -2 > -5 \). - Промежуток \( [-2; 18] \) пересекается с лучом \( (14; +\infty) \) на интервале \( (14; 18] \). Ответ: \( x \in (14; 18] \)