Решение системы неравенств

Решение системы неравенств: \[ \begin{cases} -15x^2 + 240x + 540 \geq 0 \\ -9x^2 + 81x + 630 < 0 \end{cases} \] 1. Решим первое неравенство: \( -15x^2 + 240x + 540 \geq 0 \). Разделим обе части на \( -15 \). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ x^2 - 16x - 36 \leq 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 16x - 36 = 0 \) через дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400 = 20^2 \] \[ x_1 = \frac{16 - 20}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{16 + 20}{2} = 18 \] Так как знак неравенства \( \leq 0 \), решением является отрезок: \[ x \in [-2; 18] \] 2. Решим второе неравенство: \( -9x^2 + 81x + 630 < 0 \). Разделим обе части на \( -9 \), меняя знак неравенства: \[ x^2 - 9x - 70 > 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 9x - 70 = 0 \): \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2 \] \[ x_3 = \frac{9 - 19}{2} = -5, \quad x_4 = \frac{9 + 19}{2} = 14 \] Так как знак неравенства \( > 0 \), решением являются внешние интервалы: \[ x \in (-\infty; -5) \cup (14; +\infty) \] 3. Найдем пересечение полученных решений: \[ \begin{cases} x \in [-2; 18] \\ x \in (-\infty; -5) \cup (14; +\infty) \end{cases} \] - Числа от \( -2 \) до \( 18 \) не попадают в интервал \( (-\infty; -5) \), так как \( -2 > -5 \). - Числа от \( -2 \) до \( 18 \) пересекаются с интервалом \( (14; +\infty) \) на промежутке от \( 14 \) (не включая) до \( 18 \) (включая). Ответ: \( x \in (14; 18] \)