Решение системы неравенств: -15x^2 - 135x + 780 ≤ 0 и -6x^2 + 114x + 252 < 0

Решение системы неравенств: \[ \begin{cases} -15x^2 - 135x + 780 \leq 0 \\ -6x^2 + 114x + 252 < 0 \end{cases} \] 1. Решим первое неравенство: \( -15x^2 - 135x + 780 \leq 0 \). Разделим обе части на \( -15 \), меняя знак неравенства на противоположный: \[ x^2 + 9x - 52 \geq 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 + 9x - 52 = 0 \): \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 81 + 208 = 289 = 17^2 \] \[ x_1 = \frac{-9 - 17}{2} = -13, \quad x_2 = \frac{-9 + 17}{2} = 4 \] Так как знак неравенства \( \geq 0 \), решением являются внешние промежутки: \[ x \in (-\infty; -13] \cup [4; +\infty) \] 2. Решим второе неравенство: \( -6x^2 + 114x + 252 < 0 \). Разделим обе части на \( -6 \), меняя знак неравенства на противоположный: \[ x^2 - 19x - 42 > 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 19x - 42 = 0 \): \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 361 + 168 = 529 = 23^2 \] \[ x_3 = \frac{19 - 23}{2} = -2, \quad x_4 = \frac{19 + 23}{2} = 21 \] Так как знак неравенства \( > 0 \), решением являются внешние промежутки: \[ x \in (-\infty; -2) \cup (21; +\infty) \] 3. Найдем пересечение решений: \[ \begin{cases} x \in (-\infty; -13] \cup [4; +\infty) \\ x \in (-\infty; -2) \cup (21; +\infty) \end{cases} \] - Пересечение лучей \( (-\infty; -13] \) и \( (-\infty; -2) \) дает промежуток \( (-\infty; -13] \). - Пересечение луча \( [4; +\infty) \) с объединением \( (-\infty; -2) \cup (21; +\infty) \) дает промежуток \( (21; +\infty) \), так как числа от 4 до 21 не удовлетворяют второму условию. Ответ: \( x \in (-\infty; -13] \cup (21; +\infty) \)