Решение: Производная и Экстремумы функции y = x³ + 3/x

На фотографии изображена функция \( y = x^3 + \frac{3}{x} \). Обычно в школьной программе для такой функции требуется найти производную или исследовать её на экстремумы. Ниже приведено решение для нахождения производной и критических точек. Задание: Найти производную функции и точки экстремума. Решение: 1. Область определения функции: Так как знаменатель не может быть равен нулю, то \( x \neq 0 \). \[ D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \] 2. Найдем производную функции \( y' \): Для этого представим функцию в виде \( y = x^3 + 3x^{-1} \). \[ y' = (x^3)' + (3x^{-1})' \] \[ y' = 3x^2 + 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} \] \[ y' = 3x^2 - \frac{3}{x^2} \] 3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 - \frac{3}{x^2} = 0 \] Разделим обе части уравнения на 3: \[ x^2 - \frac{1}{x^2} = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^4 - 1}{x^2} = 0 \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: \[ x^4 - 1 = 0 \] \[ x^4 = 1 \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 \] 4. Определим знаки производной на промежутках: — На интервале \( (-\infty; -1) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает) — На интервале \( (-1; 0) \): \( y' < 0 \) (функция убывает) — На интервале \( (0; 1) \): \( y' < 0 \) (функция убывает) — На интервале \( (1; +\infty) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает) 5. Точки экстремума: Точка максимума: \( x_{max} = -1 \) Точка минимума: \( x_{min} = 1 \) Ответ: \( y' = 3x^2 - \frac{3}{x^2} \); точки экстремума \( x = 1 \) и \( x = -1 \).