Решение задач по геометрии для школьной тетради

Ниже представлены решения задач с карточки, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^\circ \), \( \angle C = \angle B + 40^\circ \). Найти: \( \angle B \), \( \angle C \). Решение: Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Так как \( \angle A = 90^\circ \), то на сумму углов \( B \) и \( C \) приходится: \[ \angle B + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] Пусть \( \angle B = x \), тогда \( \angle C = x + 40^\circ \). Составим уравнение: \[ x + (x + 40^\circ) = 90^\circ \] \[ 2x = 50^\circ \] \[ x = 25^\circ \] Значит, \( \angle B = 25^\circ \), а \( \angle C = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ \). Ответ: \( 25^\circ \), \( 65^\circ \). Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 70^\circ \), \( CD \) — биссектриса. Найти: углы \( \triangle BCD \). Решение: 1) Найдем \( \angle B \) в \( \triangle ABC \): \[ \angle B = 180^\circ - (90^\circ + 70^\circ) = 20^\circ \] 2) Так как \( CD \) — биссектриса прямого угла \( C \), то: \[ \angle BCD = 90^\circ : 2 = 45^\circ \] 3) Найдем третий угол \( \triangle BCD \) (\( \angle BDC \)): \[ \angle BDC = 180^\circ - (\angle B + \angle BCD) = 180^\circ - (20^\circ + 45^\circ) = 115^\circ \] Ответ: \( 20^\circ \), \( 45^\circ \), \( 115^\circ \). Задача 3. Дано: \( P = 50 \) см, треугольник равнобедренный, одна сторона на 13 см меньше другой. Найти: стороны. Решение: Рассмотрим два случая. Случай 1: Основание \( x \), боковая сторона \( x + 13 \). \[ x + 2(x + 13) = 50 \] \[ 3x + 26 = 50 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8 \] Стороны: 8 см, 21 см, 21 см. (Условие \( 21+21 > 8 \) верно). Случай 2: Боковая сторона \( x \), основание \( x + 13 \). \[ 2x + (x + 13) = 50 \] \[ 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3} \] Стороны: \( 12\frac{1}{3} \) см, \( 12\frac{1}{3} \) см, \( 25\frac{1}{3} \) см. (Условие \( 12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} > 25\frac{1}{3} \) неверно, \( 24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3} \)). Ответ: 8 см, 21 см, 21 см. Задача 4. Дано: \( \angle B = 3\angle A \). Внешний \( \angle A_{вн} = \angle B_{вн} + 40^\circ \). Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C \). Решение: Внешний угол равен \( 180^\circ \) минус внутренний. \[ (180^\circ - \angle A) = (180^\circ - \angle B) + 40^\circ \] \[ - \angle A = - \angle B + 40^\circ \Rightarrow \angle B - \angle A = 40^\circ \] Так как \( \angle B = 3\angle A \): \[ 3\angle A - \angle A = 40^\circ \Rightarrow 2\angle A = 40^\circ \Rightarrow \angle A = 20^\circ \] Тогда \( \angle B = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \). \( \angle C = 180^\circ - (20^\circ + 60^\circ) = 100^\circ \). Ответ: \( 20^\circ, 60^\circ, 100^\circ \). Задача 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \). На \( AC \) отложен \( CD = CB \). Найти: углы \( \triangle ABD \). Решение: 1) В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \). 2) \( \triangle BCD \) — прямоугольный и равнобедренный (\( CD = CB \)), значит \( \angle CBD = \angle CDB = 45^\circ \). 3) В \( \triangle ABD \): \( \angle DAB = \angle A = 20^\circ \). \( \angle ADB = 180^\circ - \angle CDB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \) (смежные). \( \angle ABD = 180^\circ - (20^\circ + 135^\circ) = 25^\circ \). Ответ: \( 20^\circ, 135^\circ, 25^\circ \).