Решение системы линейных уравнений методом подстановки (Вариант 2)

Самостоятельная работа. Вариант 2. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Задание 1. \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \] Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = 4 - 2y \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ 3(4 - 2y) - 4y = 2 \] \[ 12 - 6y - 4y = 2 \] \[ -10y = 2 - 12 \] \[ -10y = -10 \] \[ y = 1 \] Найдем \(x\), подставив \(y = 1\) в выражение для \(x\): \[ x = 4 - 2 \cdot 1 = 2 \] Ответ: (2; 1). Задание 2. \[ \begin{cases} 3x + y = 4 \\ 5x - 2y = 14 \end{cases} \] Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = 4 - 3x \] Подставим во второе уравнение: \[ 5x - 2(4 - 3x) = 14 \] \[ 5x - 8 + 6x = 14 \] \[ 11x = 14 + 8 \] \[ 11x = 22 \] \[ x = 2 \] Найдем \(y\): \[ y = 4 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2 \] Ответ: (2; -2). Задание 3. \[ \begin{cases} 2x + 7y = 11 \\ 4x - y = 7 \end{cases} \] Выразим \(y\) из второго уравнения: \[ -y = 7 - 4x \] \[ y = 4x - 7 \] Подставим в первое уравнение: \[ 2x + 7(4x - 7) = 11 \] \[ 2x + 28x - 49 = 11 \] \[ 30x = 11 + 49 \] \[ 30x = 60 \] \[ x = 2 \] Найдем \(y\): \[ y = 4 \cdot 2 - 7 = 8 - 7 = 1 \] Ответ: (2; 1). Задание 4. \[ \begin{cases} 7x - 4y = 2 \\ 5x + 11y = 43 \end{cases} \] Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ 7x = 2 + 4y \] \[ x = \frac{2 + 4y}{7} \] Подставим во второе уравнение: \[ 5 \cdot \frac{2 + 4y}{7} + 11y = 43 \] Умножим все уравнение на 7, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 5(2 + 4y) + 77y = 301 \] \[ 10 + 20y + 77y = 301 \] \[ 97y = 301 - 10 \] \[ 97y = 291 \] \[ y = 3 \] Найдем \(x\): \[ x = \frac{2 + 4 \cdot 3}{7} = \frac{2 + 12}{7} = \frac{14}{7} = 2 \] Ответ: (2; 3).