Решение задач с одночленами

Вариант — 2 Задание 1. Какие из следующих выражений являются одночленами? Ответ: 2) \( 5rv \); 3) \( 12 \). (Пояснение: Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней. В пункте 1 есть деление на переменную, в пункте 4 — разность). Задание 2. Какие из следующих одночленов записаны в стандартном виде? Ответ: 1) \( -3s^4 z d^8 \). (Пояснение: В стандартном виде числовой множитель стоит на первом месте, а каждая переменная встречается только один раз). Задание 3. Определите коэффициент одночлена \( m^5 n^4 \). Ответ: Коэффициент равен \( 1 \). Задание 4. Определите степень одночлена \( 16ac^5 h \). Решение: Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. \[ 1 + 5 + 1 = 7 \] Ответ: \( 7 \). Задание 5. Укажите пары подобных одночленов. Ответ: 2) \( s^8 \) и \( 6s \); 4) \( -0,4x^7 y^2 \) и \( 4x^7 y^2 \). (Пояснение: Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть. В пункте 2 буквенная часть различается степенями, поэтому строго говоря, только пара 4 является классическим примером подобных слагаемых). Задание 6. Приведите одночлен \( 4x \cdot (-0,6x^3 y) \cdot (3y) \) к стандартному виду. Решение: \[ 4 \cdot (-0,6) \cdot 3 \cdot x \cdot x^3 \cdot y \cdot y = -7,2x^4 y^2 \] Ответ: \( -7,2x^4 y^2 \). Задание 7. Выберите алгебраические выражения, которые являются многочленами. Ответ: 2) \( 9 \cdot a^2 \cdot 7 - 5a + 2 \). (Пояснение: Многочлен — это сумма одночленов. В пункте 4 есть деление на выражение с переменной). Задание 8. Выберите те многочлены, которые записаны в стандартном виде. Ответ: 2) \( 4p + 6q - 5p \) (после приведения подобных будет \( 6q - p \)); 4) \( x + 7x^2 + 2x^7 \). Обычно под стандартным видом многочлена понимают запись, где каждый член — одночлен стандартного вида и приведены подобные слагаемые. В данном списке наиболее подходит вариант 4. Задание 9. Определите степень многочлена \( 18p^{11} r^8 - 8p^{10} r^2 - 9p^5 r^3 \). Решение: Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. 1) Степень \( 18p^{11} r^8 \): \( 11 + 8 = 19 \). 2) Степень \( 8p^{10} r^2 \): \( 10 + 2 = 12 \). 3) Степень \( 9p^5 r^3 \): \( 5 + 3 = 8 \). Наибольшая степень — \( 19 \). Ответ: \( 19 \). Задание 10. Приведите многочлен к стандартному виду: \( -9z \cdot (-0,1z) + 6xz \cdot (-0,3xz) + 6z \cdot 2z - 9y \cdot 0,5y + 2x^2 \cdot 4z^2 - 2y^2 \) Решение: 1) Перемножим множители в каждом одночлене: \[ 0,9z^2 - 1,8x^2 z^2 + 12z^2 - 4,5y^2 + 8x^2 z^2 - 2y^2 \] 2) Приведем подобные слагаемые: Для \( z^2 \): \( 0,9z^2 + 12z^2 = 12,9z^2 \) Для \( x^2 z^2 \): \( -1,8x^2 z^2 + 8x^2 z^2 = 6,2x^2 z^2 \) Для \( y^2 \): \( -4,5y^2 - 2y^2 = -6,5y^2 \) Итоговая запись: \[ 6,2x^2 z^2 + 12,9z^2 - 6,5y^2 \] Ответ: \( 6,2x^2 z^2 + 12,9z^2 - 6,5y^2 \).