Решение задачи: Определение массы груза на наклонной плоскости

Дано: \(m = 4,5\) кг \(R = 15\) см \(= 0,15\) м \(\alpha = 30^{\circ}\) Тела покоятся Найти: \(M\) Решение: 1. Рассмотрим силы, действующие на груз массой \(M\). Так как система находится в равновесии, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити \(T\): \[T = Mg \quad (1)\] 2. Рассмотрим силы, действующие на цилиндр массой \(m\). На него действуют: - сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз; - сила реакции опоры \(N\), перпендикулярная наклонной плоскости; - сила трения \(F_{тр}\), направленная вдоль наклонной плоскости; - сила натяжения нити \(T\), направленная горизонтально влево (согласно рисунку). 3. Для цилиндра запишем условие равновесия моментов сил относительно точки касания цилиндра с наклонной плоскостью (мгновенная ось вращения). Это позволит исключить из уравнения неизвестные силы \(N\) и \(F_{тр}\). Плечо силы натяжения нити \(T\) относительно точки касания: Нить отходит от верхней точки цилиндра горизонтально. Расстояние от точки касания до линии действия силы \(T\) равно: \[d_T = R + R \cdot \cos(\alpha)\] (так как радиус к точке касания перпендикулярен плоскости, а нить горизонтальна). Плечо силы тяжести \(mg\) относительно точки касания: \[d_m = R \cdot \sin(\alpha)\] 4. Уравнение моментов сил: \[T \cdot d_T = mg \cdot d_m\] \[T \cdot R(1 + \cos\alpha) = mg \cdot R\sin\alpha\] Сократим на \(R\): \[T(1 + \cos\alpha) = mg\sin\alpha\] 5. Подставим выражение для \(T\) из уравнения (1): \[Mg(1 + \cos\alpha) = mg\sin\alpha\] Разделим на \(g\): \[M(1 + \cos\alpha) = m\sin\alpha\] Отсюда выразим \(M\): \[M = \frac{m \cdot \sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\] 6. Подставим численные значения: \(\sin 30^{\circ} = 0,5\) \(\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\) \[M = \frac{4,5 \cdot 0,5}{1 + 0,866} = \frac{2,25}{1,866} \approx 1,206 \text{ кг}\] Обоснование: 1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. 2. Цилиндр и груз рассматриваем как твердые тела. 3. Условие равновесия тел в ИСО: векторная сумма всех внешних сил равна нулю, и сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси равна нулю. 4. Нить считаем невесомой и нерастяжимой, блок невесомым и без трения, поэтому сила натяжения нити одинакова по всей длине. Ответ: \(M \approx 1,21\) кг.