Примеры решения задач по геометрии

Ниже представлено решение задач с оформлением, удобным для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: ABCD — прямоугольник, \(AC = 13\), \(AD = 12\). Найти: \(P_{ABCD}\). Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD (\(\angle D = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[CD^2 = AC^2 - AD^2\] \[CD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\] \[CD = \sqrt{25} = 5\] 2) Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[P = 2 \cdot (AD + CD)\] \[P = 2 \cdot (12 + 5) = 2 \cdot 17 = 34\] Ответ: 34. Задача 2. Дано: \(\triangle DFK\), \(\angle D = 90^\circ\), \(DF = 9\), \(HK = 10,5\), \(\angle FDH = 30^\circ\), \(DH \perp FK\). Найти: \(P_{DFK}\). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике DFH (\(\angle DHF = 90^\circ\)) катет FH лежит против угла в \(30^\circ\): \[FH = \frac{1}{2} DF = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5\] 2) Тогда гипотенуза FK равна: \[FK = FH + HK = 4,5 + 10,5 = 15\] 3) Из прямоугольного треугольника DFK по теореме Пифагора найдем DK: \[DK^2 = FK^2 - DF^2\] \[DK^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\] \[DK = \sqrt{144} = 12\] 4) Периметр треугольника: \[P = DF + DK + FK = 9 + 12 + 15 = 36\] Ответ: 36. Задача 3. Дано: \(\triangle BCL\), \(\angle L = 90^\circ\), \(BL = 12\), LM — медиана, \(LM = 10\). Найти: \(P_{BCL}\). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Значит: \[BC = 2 \cdot LM = 2 \cdot 10 = 20\] 2) Из прямоугольного треугольника BCL по теореме Пифагора найдем катет CL: \[CL^2 = BC^2 - BL^2\] \[CL^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256\] \[CL = \sqrt{256} = 16\] 3) Периметр треугольника: \[P = BL + CL + BC = 12 + 16 + 20 = 48\] Ответ: 48. Задача 4. Дано: CHPL — ромб, \(CP = 40\), \(HL = 30\). Найти: \(P_{CHPL}\). Решение: 1) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения. \[CO = \frac{1}{2} CP = \frac{40}{2} = 20\] \[HO = \frac{1}{2} HL = \frac{30}{2} = 15\] 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник COH (\(\angle O = 90^\circ\)). По теореме Пифагора найдем сторону ромба CH: \[CH^2 = CO^2 + HO^2\] \[CH^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625\] \[CH = \sqrt{625} = 25\] 3) У ромба все стороны равны, поэтому периметр: \[P = 4 \cdot CH = 4 \cdot 25 = 100\] Ответ: 100.