Контрольная работа №3. Вариант 1. Решение

Контрольная работа №3. Вариант 1. 1. Вычислить: а) \( \log_{5}(25\sqrt{5}) = \log_{5}(5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}) = \log_{5}(5^{2,5}) = 2,5 \) б) \( \lg 0,0001 = \lg 10^{-4} = -4 \) в) \( \log_{4} 64 + \log_{0,2} 125 = \log_{4} 4^3 + \log_{5^{-1}} 5^3 = 3 + \frac{3}{-1} = 3 - 3 = 0 \) г) \( \log_{\frac{1}{3}} 54 - \frac{1}{3} \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 8^{\frac{1}{3}} + \log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{54 \cdot 81}{2} = \log_{\frac{1}{3}} (27 \cdot 81) = \log_{\frac{1}{3}} (3^3 \cdot 3^4) = \log_{\frac{1}{3}} 3^7 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-7} = -7 \) д) \( 9^{2 - \log_{3} 2} = \frac{9^2}{9^{\log_{3} 2}} = \frac{81}{(3^2)^{\log_{3} 2}} = \frac{81}{3^{2 \log_{3} 2}} = \frac{81}{3^{\log_{3} 4}} = \frac{81}{4} = 20,25 \) 2. Построить график функции \( y = \log_{2} 8x \). Преобразуем функцию: \( y = \log_{2} 8 + \log_{2} x = 3 + \log_{2} x \). Это график стандартного логарифма \( \log_{2} x \), поднятый на 3 единицы вверх. Описание: 1) Область определения: \( D(y): x > 0 \), то есть \( (0; +\infty) \). 2) Область значений: \( E(y): R \), то есть \( (-\infty; +\infty) \). 3) Нули функции: \( \log_{2} 8x = 0 \Rightarrow 8x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{8} = 0,125 \). 4) Промежутки возрастания: функция возрастает на всей области определения \( (0; +\infty) \), так как основание \( 2 > 1 \). Промежутков убывания нет. 3. Решить уравнение: а) \( \lg(5x - 4) = \lg(1 - x) \) ОДЗ: \( 5x - 4 > 0 \) и \( 1 - x > 0 \Rightarrow x > 0,8 \) и \( x < 1 \). \( 5x - 4 = 1 - x \) \( 6x = 5 \) \( x = \frac{5}{6} \approx 0,83 \) (входит в ОДЗ). Ответ: \( \frac{5}{6} \). б) \( 1 - \log_{2}(2x - 3) = \log_{2}(2x - 5) \) ОДЗ: \( 2x - 3 > 0 \) и \( 2x - 5 > 0 \Rightarrow x > 2,5 \). \( 1 = \log_{2}(2x - 5) + \log_{2}(2x - 3) \) \( \log_{2} 2 = \log_{2}((2x - 5)(2x - 3)) \) \( 4x^2 - 6x - 10x + 15 = 2 \) \( 4x^2 - 16x + 13 = 0 \) \( D = 256 - 4 \cdot 4 \cdot 13 = 256 - 208 = 48 \) \( x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{48}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{3}}{8} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( x_1 = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2,86 \) (подходит) \( x_2 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1,14 \) (не входит в ОДЗ) Ответ: \( 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \). в) \( \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 9) = -2 \) \( x^2 + 3x - 9 = (\frac{1}{3})^{-2} \) \( x^2 + 3x - 9 = 9 \) \( x^2 + 3x - 18 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -6, x_2 = 3 \). Проверка ОДЗ: при обоих значениях выражение в логарифме равно 9, что больше 0. Ответ: \( -6; 3 \). г) \( \lg^2 x - 2\lg(10x) - 1 = 0 \) \( \lg^2 x - 2(\lg 10 + \lg x) - 1 = 0 \) \( \lg^2 x - 2(1 + \lg x) - 1 = 0 \) \( \lg^2 x - 2\lg x - 3 = 0 \) Пусть \( \lg x = t \): \( t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow t_1 = 3, t_2 = -1 \) 1) \( \lg x = 3 \Rightarrow x = 10^3 = 1000 \) 2) \( \lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0,1 \) Ответ: \( 0,1; 1000 \). 4. Решить уравнение: \( x^{\log_{6} x^2} + 6^{\log_{6}^2 x} = 42 \) Заметим, что \( x^{\log_{6} x^2} = x^{2 \log_{6} x} = (x^{\log_{6} x})^2 \). Также по основному свойству \( a^{\log_a b} = b \), но здесь квадрат логарифма. Используем свойство \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \). Тогда \( 6^{\log_{6}^2 x} = (6^{\log_{6} x})^{\log_{6} x} = x^{\log_{6} x} \). Пусть \( y = x^{\log_{6} x} \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + y - 42 = 0 \) \( y_1 = 6, y_2 = -7 \) (отрицательное значение не подходит, так как \( x^{\log_{6} x} > 0 \)). \( x^{\log_{6} x} = 6 \) Прологарифмируем по основанию 6: \( \log_{6} (x^{\log_{6} x}) = \log_{6} 6 \) \( \log_{6} x \cdot \log_{6} x = 1 \) \( \log_{6}^2 x = 1 \) \( \log_{6} x = 1 \Rightarrow x = 6 \) \( \log_{6} x = -1 \Rightarrow x = \frac{1}{6} \) Ответ: \( \frac{1}{6}; 6 \).