Решение задач с квадратными и кубическими корнями

Ниже представлено решение задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. 1. Вычислите: 1) \(\sqrt{49} \cdot \sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{24} = 7 \cdot \sqrt[3]{81 \cdot 24} = 7 \cdot \sqrt[3]{1944} = 7 \cdot \sqrt[3]{216 \cdot 9} = 7 \cdot 6 \cdot \sqrt[3]{9} = 42\sqrt[3]{9}\) 2) \(\sqrt{125} \cdot \sqrt[5]{32} - 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25 \cdot 5} \cdot 2 - \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \cdot 2 - \sqrt{5} = 10\sqrt{5} - \sqrt{5} = 9\sqrt{5}\) 3) \((\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (6 - \sqrt{11}) - 2\sqrt{(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})} + (6 + \sqrt{11}) =\) \(= 12 - 2\sqrt{36 - 11} = 12 - 2\sqrt{25} = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2\) 4) \(\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)} = \sqrt[3]{17 - 9} = \sqrt[3]{8} = 2\) 5) \(\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5})} = \sqrt[4]{36 - 4 \cdot 5} = \sqrt[4]{36 - 20} = \sqrt[4]{16} = 2\) 2. Решить уравнения: а) \(\sqrt{x - 2} = 4\) Возведем в квадрат: \(x - 2 = 16\) \(x = 18\) Ответ: 18. б) \(\sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 2}\) ОДЗ: \(5 - x \ge 0\) и \(x - 2 \ge 0 \Rightarrow 2 \le x \le 5\) Возведем в квадрат: \(5 - x = x - 2\) \(2x = 7\) \(x = 3,5\) (входит в ОДЗ) Ответ: 3,5. в) \(\sqrt{2x + 4} = x - 2\) ОДЗ: \(x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\) Возведем в квадрат: \(2x + 4 = (x - 2)^2\) \(2x + 4 = x^2 - 4x + 4\) \(x^2 - 6x = 0\) \(x(x - 6) = 0\) \(x_1 = 0\) (не подходит по ОДЗ), \(x_2 = 6\) Ответ: 6. г) \(\sqrt{x} - \sqrt{x - 5} = 1\) ОДЗ: \(x \ge 5\) \(\sqrt{x} = 1 + \sqrt{x - 5}\) Возведем в квадрат: \(x = 1 + 2\sqrt{x - 5} + x - 5\) \(4 = 2\sqrt{x - 5}\) \(2 = \sqrt{x - 5}\) \(4 = x - 5\) \(x = 9\) Ответ: 9. 3. Решить неравенства: а) \(\sqrt{x - 3} < 2\) Система: \[ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x - 3 < 4 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 7 \end{cases} \] Ответ: \(x \in [3; 7)\) б) \(\sqrt{4 - 5x} \ge 8\) Возведем в квадрат (так как обе части неотрицательны): \(4 - 5x \ge 64\) \(-5x \ge 60\) \(x \le -12\) Ответ: \(x \in (-\infty; -12]\)