Решение задачи на подобие треугольников - Вариант 2

Ниже представлено решение задач из варианта 2 по теме Подобие треугольников, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: Стороны малого треугольника: \(a = 2\) см, \(b = 3\) см, \(c = 4\) см. Вершины малого треугольника — середины сторон большого треугольника. Найти: \(P_{бол}\) (периметр второго треугольника). Решение: 1. По условию, стороны малого треугольника являются средними линиями большого треугольника, так как они соединяют середины его сторон. 2. По свойству средней линии треугольника, она параллельна стороне треугольника и равна её половине. Значит, стороны большого треугольника в 2 раза больше сторон малого. 3. Стороны большого треугольника равны: \[2 \cdot 2 = 4 \text{ см}\] \[3 \cdot 2 = 6 \text{ см}\] \[4 \cdot 2 = 8 \text{ см}\] 4. Периметр большого треугольника равен сумме его сторон: \[P_{бол} = 4 + 6 + 8 = 18 \text{ см}\] Ответ: 18 см. Задача 2 Дано: Рост человека \(h = 1,5\) м. Расстояние от столба до человека \(L = 16\) шагов. Длина тени человека \(l = 4\) шага. Найти: \(H\) (высоту фонаря). Решение: 1. Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Первый образован фонарем, его тенью (расстояние от столба до конца тени человека) и лучом света. Второй образован человеком и его тенью. 2. Треугольники подобны по двум углам (один угол прямой, второй — общий угол падения луча света). 3. Из подобия треугольников следует отношение: \[\frac{H}{h} = \frac{L + l}{l}\] 4. Подставим известные значения: \[\frac{H}{1,5} = \frac{16 + 4}{4}\] \[\frac{H}{1,5} = \frac{20}{4}\] \[\frac{H}{1,5} = 5\] 5. Находим высоту фонаря: \[H = 5 \cdot 1,5 = 7,5 \text{ м}\] Ответ: 7,5 м. Задача 3 Дано: Треугольник \(ABC\) — прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)). \(AC = 4\), \(CB = 3\). \(CM\) — высота, проведенная к гипотенузе (судя по чертежу и стандартному набору искомых величин). Найти: \(AB, AM, MB, CM\). Решение: 1. Найдем гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] 2. Найдем высоту \(CM\), используя формулу площади треугольника (\(S = \frac{1}{2} AC \cdot CB = \frac{1}{2} AB \cdot CM\)): \[CM = \frac{AC \cdot CB}{AB} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4\] 3. Найдем проекцию катета \(AC\) на гипотенузу (\(AM\)) по свойству прямоугольного треугольника (\(AC^2 = AM \cdot AB\)): \[4^2 = AM \cdot 5\] \[16 = 5 \cdot AM \Rightarrow AM = \frac{16}{5} = 3,2\] 4. Найдем отрезок \(MB\): \[MB = AB - AM = 5 - 3,2 = 1,8\] Ответ: \(AB = 5, AM = 3,2, MB = 1,8, CM = 2,4\).