Решение задачи: Подобие треугольников

Вариант 1. Подобие треугольников. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( M, N, K \) — середины сторон \( AB, BC, AC \). \( MN = 12 \), \( MK = 10 \), \( KN = 8 \). Найти: \( P_{ABC} \). Решение: По условию точки \( M, N, K \) являются серединами сторон треугольника. Следовательно, отрезки \( MN, MK, KN \) являются средними линиями треугольника \( ABC \). По свойству средней линии треугольника, она параллельна одной из его сторон и равна её половине: \[ MN = \frac{1}{2} AC \Rightarrow AC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 12 = 24 \] \[ MK = \frac{1}{2} BC \Rightarrow BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 10 = 20 \] \[ KN = \frac{1}{2} AB \Rightarrow AB = 2 \cdot KN = 2 \cdot 8 = 16 \] Периметр треугольника \( ABC \) равен сумме длин его сторон: \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = 16 + 20 + 24 = 60 \] Ответ: 60. Задача 2. Дано: Рост человека \( h = 1,7 \) м. Расстояние от столба до человека \( L = 8 \) шагов. Длина тени человека \( l = 4 \) шага. Найти: высоту столба \( H \). Решение: Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Первый образован фонарем, столбом и концом тени. Второй образован человеком и его тенью. Треугольники подобны по двум углам (один угол прямой, второй — общий угол падения луча света). Из подобия треугольников следует отношение: \[ \frac{H}{h} = \frac{L + l}{l} \] Подставим известные значения: \[ \frac{H}{1,7} = \frac{8 + 4}{4} \] \[ \frac{H}{1,7} = \frac{12}{4} \] \[ \frac{H}{1,7} = 3 \] \[ H = 3 \cdot 1,7 = 5,1 \text{ м} \] Ответ: 5,1 м. Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \). \( CD \perp AB \). \( AB = 20 \), \( CB = 4 \). Найти: \( AD, DB, AC, CD \). Решение: 1) Из прямоугольного треугольника \( ABC \) по определению катета через гипотенузу и его проекцию: \[ CB^2 = DB \cdot AB \] \[ 4^2 = DB \cdot 20 \] \[ 16 = 20 \cdot DB \] \[ DB = \frac{16}{20} = 0,8 \] 2) Найдем отрезок \( AD \): \[ AD = AB - DB = 20 - 0,8 = 19,2 \] 3) Найдем катет \( AC \) по теореме Пифагора для \( \triangle ABC \): \[ AC^2 = AB^2 - CB^2 \] \[ AC^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384 \] \[ AC = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6} \] 4) Найдем высоту \( CD \) из прямоугольного треугольника \( CDB \) по теореме Пифагора: \[ CD^2 = CB^2 - DB^2 \] \[ CD^2 = 4^2 - (0,8)^2 = 16 - 0,64 = 15,36 \] \[ CD = \sqrt{15,36} = 3,92 \] (Или через свойство высоты: \( CD = \sqrt{AD \cdot DB} = \sqrt{19,2 \cdot 0,8} = \sqrt{15,36} \)). Ответ: \( AD = 19,2 \); \( DB = 0,8 \); \( AC = 8\sqrt{6} \); \( CD = \sqrt{15,36} \).