Задача: Подобие треугольников. Вариант 2. Решение

Вариант 2. Подобие треугольников. Задача 1. Дано: Стороны первого треугольника: \(a_1 = 2\) см, \(b_1 = 3\) см, \(c_1 = 4\) см. Вершины первого треугольника — середины сторон второго треугольника. Найти: \(P_2\) (периметр второго треугольника). Решение: Так как вершины первого треугольника являются серединами сторон второго, то стороны первого треугольника являются средними линиями второго треугольника. По свойству средней линии треугольника, она параллельна стороне и равна её половине. Значит, стороны второго треугольника в 2 раза больше сторон первого: \[a_2 = 2 \cdot a_1 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}\] \[b_2 = 2 \cdot b_1 = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\] \[c_2 = 2 \cdot c_1 = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}\] Периметр второго треугольника равен: \[P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 4 + 6 + 8 = 18 \text{ см}\] Ответ: 18 см. Задача 2. Дано: Рост человека \(h = 1,5\) м. Расстояние от столба до человека \(L = 16\) шагов. Длина тени человека \(l = 4\) шага. Найти: \(H\) (высота фонаря). Решение: Фонарь, человек и их тени образуют два подобных прямоугольных треугольника (по двум углам: прямой угол и общий угол падения света). Пусть \(H\) — высота столба, \(h\) — рост человека. Основание большого треугольника равно сумме расстояния от столба до человека и длины тени: \(L + l = 16 + 4 = 20\) шагов. Из подобия треугольников следует отношение: \[\frac{H}{h} = \frac{L + l}{l}\] Подставим значения: \[\frac{H}{1,5} = \frac{20}{4}\] \[\frac{H}{1,5} = 5\] \[H = 5 \cdot 1,5 = 7,5 \text{ м}\] Ответ: 7,5 м. Задача 3. Дано: Треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). \(AC = 4\), \(CB = 3\). \(CM\) — высота, проведенная к гипотенузе (судя по чертежу и стандартным задачам на подобие в прямоугольном треугольнике). Найти: \(AB, AM, MB, CM\). Решение: 1) По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(AB\): \[AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] 2) Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Высота \(CM\), проведенная к гипотенузе: \[CM = \frac{AC \cdot CB}{AB} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4\] 3) Катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: \[AC^2 = AM \cdot AB \Rightarrow 4^2 = AM \cdot 5 \Rightarrow 16 = 5 \cdot AM \Rightarrow AM = \frac{16}{5} = 3,2\] 4) Отрезок \(MB\) найдем как разность: \[MB = AB - AM = 5 - 3,2 = 1,8\] Ответ: \(AB = 5\), \(AM = 3,2\), \(MB = 1,8\), \(CM = 2,4\).