Решение: Контрольная работа №5. Основы тригонометрии. Вариант 2

Контрольная работа №5. Основы тригонометрии. Вариант 2. Задание 1. Для решения задачи вспомним, что длина всей единичной окружности равна \(2\pi\). Четверть окружности равна \(\frac{\pi}{2}\). Примем стандартное расположение точек: \(A(1; 0)\), \(B(0; 1)\), \(C(-1; 0)\), \(D(0; -1)\). Тогда дуги считаются от точки \(A\) против часовой стрелки. 1) Точка \(M\) делит вторую четверть (дуга \(BC\)) пополам. Координата \(B\) соответствует \(\frac{\pi}{2}\), координата \(C\) соответствует \(\pi\). Точка \(M\) находится в середине: \(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}\). Длина дуги \(AM = \frac{3\pi}{4}\). 2) Четвертая четверть (дуга \(DA\)) разделена на три равные части точками \(K\) и \(P\). Длина четверти \(\frac{\pi}{2}\), значит каждая часть равна \(\frac{\pi}{6}\). Точка \(D\) соответствует \(\frac{3\pi}{2}\). Точка \(K\) соответствует \(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi + \pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}\). Точка \(P\) соответствует \(\frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi + 2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\). Вычислим длины дуг: \(AM = \frac{3\pi}{4}\) \(AK = 2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\) (кратчайшая дуга) или \(AK = \frac{5\pi}{3}\) (положительное направление). \(AP = 2\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\) (кратчайшая дуга) или \(AP = \frac{11\pi}{6}\) (положительное направление). \(PB = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi - 3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}\). \(MK = \frac{5\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{20\pi - 9\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}\). \(KM = 2\pi - \frac{11\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}\) (в обратном направлении). Задание 2. а) Упростить: \(\sin^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha\) Используем формулу \(1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\): \[ \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \] Ответ: \(\sin^2 \alpha\). б) Упростить: \(\cos 3\alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin 3\alpha\) Используем формулу косинуса суммы \(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\): \[ \cos(3\alpha + \alpha) = \cos 4\alpha \] Ответ: \(\cos 4\alpha\). в) Упростить: \(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ\) Используем формулу косинуса двойного угла \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\): \[ \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ \] Вычислим значение: \[ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Задание 3. Вычислить используя формулы приведения: \(\sin 135^\circ\) \[ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Или через другой вариант: \[ \sin 135^\circ = \sin(90^\circ + 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).