Решение систем уравнений методом подстановки

Решение систем уравнений для тетради: №1 \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} \] Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = 5 - x \] Подставим во второе уравнение: \[ x(5 - x) = 4 \] \[ 5x - x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 1, x_2 = 4 \] Найдем соответствующие значения \( y \): Если \( x_1 = 1 \), то \( y_1 = 5 - 1 = 4 \). Если \( x_2 = 4 \), то \( y_2 = 5 - 4 = 1 \). Ответ: (1; 4), (4; 1). №2 \[ \begin{cases} x^2 - 2y = 8 \\ x + y = 6 \end{cases} \] Выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = 6 - x \] Подставим в первое уравнение: \[ x^2 - 2(6 - x) = 8 \] \[ x^2 - 12 + 2x - 8 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 20 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 4 + 80 = 84 \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -1 \pm \sqrt{21} \] \[ x_1 = -1 + \sqrt{21}, x_2 = -1 - \sqrt{21} \] Найдем \( y \): \[ y_1 = 6 - (-1 + \sqrt{21}) = 7 - \sqrt{21} \] \[ y_2 = 6 - (-1 - \sqrt{21}) = 7 + \sqrt{21} \] Ответ: \( (-1 + \sqrt{21}; 7 - \sqrt{21}), (-1 - \sqrt{21}; 7 + \sqrt{21}) \). №3 \[ \begin{cases} xy + y = 30 \\ xy + x = 28 \end{cases} \] Вычтем из первого уравнения второе: \[ (xy + y) - (xy + x) = 30 - 28 \] \[ y - x = 2 \] \[ y = x + 2 \] Подставим это выражение во второе уравнение системы: \[ x(x + 2) + x = 28 \] \[ x^2 + 2x + x - 28 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 28 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -7, x_2 = 4 \] Найдем \( y \): Если \( x_1 = -7 \), то \( y_1 = -7 + 2 = -5 \). Если \( x_2 = 4 \), то \( y_2 = 4 + 2 = 6 \). Ответ: (-7; -5), (4; 6).