Решение задачи: круговая частота затухающих колебаний

Дано: \(C = 0,5 \cdot 10^{-5}\) Ф \(q(t) = 2 \cdot 10^{-6} \cos(10^4 t)\) Кл \(R = 10\) Ом Найти: \(\omega\) — ? (круговая частота затухающих колебаний) Решение: 1. Из уравнения гармонических колебаний заряда \(q(t) = q_m \cos(\omega_0 t)\) определим собственную циклическую частоту контура (без учета сопротивления): \[\omega_0 = 10^4 \text{ рад/с}\] 2. Зная \(\omega_0\) и емкость \(C\), найдем индуктивность контура \(L\) из формулы \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\): \[\omega_0^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow L = \frac{1}{\omega_0^2 C}\] \[L = \frac{1}{(10^4)^2 \cdot 0,5 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{10^8 \cdot 0,5 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{0,5 \cdot 10^3} = \frac{1}{500} = 0,002 \text{ Гн}\] 3. При введении сопротивления \(R\) колебания становятся затухающими. Коэффициент затухания \(\beta\) вычисляется по формуле: \[\beta = \frac{R}{2L} = \frac{10}{2 \cdot 0,002} = \frac{10}{0,004} = 2500 \text{ с}^{-1}\] 4. Круговая частота затухающих колебаний \(\omega\) связана с собственной частотой \(\omega_0\) и коэффициентом затухания \(\beta\) соотношением: \[\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}\] \[\omega = \sqrt{(10^4)^2 - (2500)^2} = \sqrt{100\,000\,000 - 6\,250\,000} = \sqrt{93\,750\,000}\] \[\omega \approx 9682,458 \text{ рад/с}\] Округляя до десятых, получаем \(9682,5\) рад/с. Ответ: 3. 9682,5 рад/с.