Решение задач на устойчивость систем автоматического управления методом Рауса

Решение задач на устойчивость систем автоматического управления. Задача 1. Исследование устойчивости методом Рауса. Характеристическое уравнение: \[ D(p) = 70p^8 + 82p^7 + 56p^6 + 19p^5 + 34p^4 + p^3 + 13p + 5 = 0 \] Заметим, что в уравнении отсутствует член с \( p^2 \). Согласно необходимому условию устойчивости, все коэффициенты характеристического полинома должны быть строго положительны и отличны от нуля. Так как коэффициент при \( p^2 \) равен 0, система является неустойчивой. Ответ: Система неустойчива. Задача 2. Исследование устойчивости методом Рауса. Характеристическое уравнение: \[ D(p) = 46p^5 + p^4 + 30p^3 + 26p^2 + 8p + 60 = 0 \] Составим таблицу Рауса. Первая строка (коэффициенты при \( p^5, p^3, p^1 \)): \( a_0 = 46 \), \( a_2 = 30 \), \( a_4 = 8 \). Вторая строка (коэффициенты при \( p^4, p^2, p^0 \)): \( a_1 = 1 \), \( a_3 = 26 \), \( a_5 = 60 \). Вычислим элементы третьей строки \( c_i \): \[ c_1 = \frac{a_1 \cdot a_2 - a_0 \cdot a_3}{a_1} = \frac{1 \cdot 30 - 46 \cdot 26}{1} = 30 - 1196 = -1166 \] Так как в первом столбце таблицы Рауса появился отрицательный элемент (\( -1166 \)), система является неустойчивой. Ответ: Система неустойчива. Задача 3. Исследование устойчивости методом Гурвица. Дано: \[ D(p) = (1+T_1 p)(1+T_2 p)(1+T_3 p)(1+T_4 p) + K \] Значения: \( T_1=3 \), \( T_2=0,6 \), \( T_3=2 \), \( T_4=2,5 \), \( K=4 \). Подставим значения и раскроем скобки: \[ D(p) = (1+3p)(1+0,6p)(1+2p)(1+2,5p) + 4 \] Перемножим скобки попарно: \[ (1 + 3,6p + 1,8p^2)(1 + 4,5p + 5p^2) + 4 \] \[ (1 + 4,5p + 5p^2 + 3,6p + 16,2p^2 + 18p^3 + 1,8p^2 + 8,1p^3 + 9p^4) + 4 \] Приведем подобные слагаемые: \[ D(p) = 9p^4 + 26,1p^3 + 23p^2 + 8,1p + 5 = 0 \] Коэффициенты: \( a_0=9 \), \( a_1=26,1 \), \( a_2=23 \), \( a_3=8,1 \), \( a_4=5 \). Составим определитель Гурвица \( \Delta_4 \): \[ \Delta_4 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & 0 & 0 \\ a_0 & a_2 & a_4 & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 & 0 \\ 0 & a_0 & a_2 & a_4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 26,1 & 8,1 & 0 & 0 \\ 9 & 23 & 5 & 0 \\ 0 & 26,1 & 8,1 & 0 \\ 0 & 9 & 23 & 5 \end{vmatrix} \] Проверим главные диагональные миноры: 1) \( \Delta_1 = a_1 = 26,1 > 0 \) 2) \( \Delta_2 = a_1 a_2 - a_0 a_3 = 26,1 \cdot 23 - 9 \cdot 8,1 = 600,3 - 72,9 = 527,4 > 0 \) 3) \( \Delta_3 = a_3 \Delta_2 - a_1^2 a_4 = 8,1 \cdot 527,4 - 26,1^2 \cdot 5 = 4271,94 - 3406,05 = 865,89 > 0 \) 4) \( \Delta_4 = a_4 \Delta_3 = 5 \cdot 865,89 = 4329,45 > 0 \) Все определители Гурвица положительны. Ответ: Система устойчива.