Решение задач на устойчивость систем методом Рауса

Решение задач на устойчивость систем. Задача 1. Исследование устойчивости методом Рауса. Характеристическое уравнение: \[ D(p) = 70p^8 + 82p^7 + 56p^6 + 19p^5 + 34p^4 + p^3 + 0p^2 + 13p + 5 = 0 \] Примечание: в исходном уравнении пропущен член с \( p^2 \), что означает коэффициент при нем равен 0. Согласно необходимому условию устойчивости Рауса-Гурвица, все коэффициенты характеристического полинома должны быть строго больше нуля. В данном полиноме коэффициент при \( p^2 \) равен 0: \[ a_2 = 0 \] Так как один из коэффициентов равен нулю (отсутствует), необходимое условие устойчивости не выполняется. Вывод: Система неустойчива. Задача 2. Исследование устойчивости методом Рауса. Характеристическое уравнение: \[ D(p) = 46p^5 + p^4 + 30p^3 + 26p^2 + 8p + 60 = 0 \] Проверим необходимое условие: все коэффициенты \( (46, 1, 30, 26, 8, 60) \) положительны. Условие выполняется, переходим к составлению таблицы Рауса. Строка 1: \( 46; 30; 8 \) Строка 2: \( 1; 26; 60 \) Строка 3: \( \frac{1 \cdot 30 - 46 \cdot 26}{1} = 30 - 1196 = -1166 \) Так как в первом столбце таблицы Рауса появился отрицательный элемент \( (-1166) \), условие устойчивости нарушено. Вывод: Система неустойчива. Задача 3. Исследование устойчивости методом Гурвица. Дано: \[ D(p) = (1 + T_1 p)(1 + T_2 p)(1 + T_3 p)(1 + T_4 p) + K \] Значения: \( T_1 = 3 \); \( T_2 = 0,6 \); \( T_3 = 2 \); \( T_4 = 2,5 \); \( K = 4 \). (Примечание: на фото \( T_3 \) указано дважды, принимаем значения по порядку как \( T_3 \) и \( T_4 \)). 1. Раскроем скобки и найдем коэффициенты полинома: \[ D(p) = (1 + 3p)(1 + 0,6p)(1 + 2p)(1 + 2,5p) + 4 \] Перемножим попарно: \[ (1 + 3,6p + 1,8p^2)(1 + 4,5p + 5p^2) + 4 \] \[ 1 + 4,5p + 5p^2 + 3,6p + 16,2p^2 + 18p^3 + 1,8p^2 + 8,1p^3 + 9p^4 + 4 \] Группируем: \[ 9p^4 + 26,1p^3 + 23p^2 + 8,1p + 5 = 0 \] Коэффициенты: \( a_0 = 9 \); \( a_1 = 26,1 \); \( a_2 = 23 \); \( a_3 = 8,1 \); \( a_4 = 5 \). 2. Составим определитель Гурвица \( \Delta_4 \): \[ \Delta_4 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & 0 & 0 \\ a_0 & a_2 & a_4 & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 & 0 \\ 0 & a_0 & a_2 & a_4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 26,1 & 8,1 & 0 & 0 \\ 9 & 23 & 5 & 0 \\ 0 & 26,1 & 8,1 & 0 \\ 0 & 9 & 23 & 5 \end{vmatrix} \] Вычислим главные диагональные миноры: \[ \Delta_1 = a_1 = 26,1 > 0 \] \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 26,1 & 8,1 \\ 9 & 23 \end{vmatrix} = 26,1 \cdot 23 - 8,1 \cdot 9 = 600,3 - 72,9 = 527,4 > 0 \] \[ \Delta_3 = a_3 \cdot \Delta_2 - a_1 \cdot \begin{vmatrix} 26,1 & 0 \\ 9 & 5 \end{vmatrix} = 8,1 \cdot 527,4 - 26,1 \cdot (26,1 \cdot 5) \] \[ \Delta_3 = 4271,94 - 3406,05 = 865,89 > 0 \] \[ \Delta_4 = a_4 \cdot \Delta_3 = 5 \cdot 865,89 = 4329,45 > 0 \] Так как все определители Гурвица положительны, система устойчива. Вывод: Система устойчива.