Разложение квадратного трехчлена и сокращение дроби: решение

Задание 1. Разложите квадратный трёхчлен \( 4x^2 - 5x - 6 \) на множители. Решение: Для разложения на множители приравняем трёхчлен к нулю и найдём его корни: \[ 4x^2 - 5x - 6 = 0 \] Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{8} = \frac{-6}{8} = -0,75 \] Используем формулу разложения \( a(x - x_1)(x - x_2) \): \[ 4x^2 - 5x - 6 = 4(x - 2)(x + 0,75) = (x - 2)(4x + 3) \] Ответ: \( (x - 2)(4x + 3) \). Задание 2. Сократите дробь \( \frac{x^2 - 25}{2x^2 - 7x - 15} \). (Примечание: в условии на картинке опечатка в знаке знаменателя, для сокращения там должен быть минус перед 15). Решение: 1) Разложим числитель по формуле разности квадратов: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \] 2) Разложим знаменатель \( 2x^2 - 7x - 15 \). Найдём корни: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169 \] \[ x_1 = \frac{7 + 13}{4} = 5; \quad x_2 = \frac{7 - 13}{4} = -1,5 \] Знаменатель примет вид: \( 2(x - 5)(x + 1,5) = (x - 5)(2x + 3) \). 3) Сократим дробь: \[ \frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(2x + 3)} = \frac{x + 5}{2x + 3} \] Ответ: \( \frac{x + 5}{2x + 3} \). Задание 3. Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена \( -3x^2 - 6x + 9 \). Решение: Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как \( a = -3 < 0 \)). Следовательно, наибольшее значение достигается в вершине параболы. 1) Найдем абсциссу вершины \( x_0 \): \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = \frac{6}{-6} = -1 \] 2) Найдем наибольшее значение (ординату вершины \( y_0 \)), подставив \( x_0 \) в выражение: \[ y_0 = -3(-1)^2 - 6(-1) + 9 = -3 \cdot 1 + 6 + 9 = -3 + 6 + 9 = 12 \] Ответ: 12.