Решение задачи 703: Найдем гипотенузу и тангенсы углов прямоугольного треугольника

Задача №703 Дано: Прямоугольный треугольник. \(a, b\) — катеты. \(a = 12\), \(b = 15\). Найти: 1) Выражение для гипотенузы \(c\) и тангенсов острых углов \(\text{tg } \alpha\), \(\text{tg } \beta\). 2) Их численные значения. Решение: 1. По теореме Пифагора гипотенуза \(c\) равна корню квадратному из суммы квадратов катетов: \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\] Подставим значения: \[c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369}\] Разложим число под корнем на множители: \(369 = 9 \cdot 41\). \[c = 3\sqrt{41} \approx 19,2 \text{ см}\] 2. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Пусть \(\alpha\) — угол, лежащий против катета \(a\), а \(\beta\) — угол, лежащий против катета \(b\). Для угла \(\alpha\): \[\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\] Подставим значения: \[\text{tg } \alpha = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8\] Для угла \(\beta\): \[\text{tg } \beta = \frac{b}{a}\] Подставим значения: \[\text{tg } \beta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25\] Ответ: Выражения: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\), \(\text{tg } \beta = \frac{b}{a}\). Значения: \(c = 3\sqrt{41}\), \(\text{tg } \alpha = 0,8\), \(\text{tg } \beta = 1,25\).