Решение неравенств: Контрольная работа по алгебре

Контрольная работа по алгебре. Неравенства. Задание 1. Решить неравенства: а) \(\frac{x+5}{3x-6} < 0\) Решим методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\) \(3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\) Отметим точки на числовой прямой. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Проверим знаки на интервалах: При \(x = 3\): \(\frac{3+5}{9-6} = \frac{8}{3} > 0\) При \(x = 0\): \(\frac{0+5}{0-6} = -\frac{5}{6} < 0\) При \(x = -6\): \(\frac{-6+5}{-18-6} = \frac{-1}{-24} > 0\) Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Ответ: \(x \in (-5; 2)\) б) \((2x-6)(4+x)(1-x) > 0\) Найдем корни множителей: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\) \(4 + x = 0 \Rightarrow x = -4\) \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\) Отметим точки \(-4, 1, 3\) на прямой. Определим знак на крайнем правом интервале (\(x > 3\)): \((+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)\). Далее знаки чередуются: \(+ , - , + , -\). Нам нужны интервалы со знаком "плюс". Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup (1; 3)\) Задание 2. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + x - 6 \le 0 \\ x^2 + 4x + 4 > 0 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \(x^2 + x - 6 \le 0\) Корни уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\) по теореме Виета: \(x_1 = -3, x_2 = 2\). График — парабола ветвями вверх. Решение: \(x \in [-3; 2]\). Решим второе неравенство: \(x^2 + 4x + 4 > 0\) Заметим формулу квадрата суммы: \((x+2)^2 > 0\). Квадрат любого числа неотрицателен. Выражение равно нулю только при \(x = -2\). Значит, решением являются все числа, кроме \(-2\): \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\). Пересекаем решения: \(x \in [-3; -2) \cup (-2; 2]\) Ответ: \([-3; -2) \cup (-2; 2]\) Задание 3. Решить неравенство: \((2x+1)(x-3) < x^2 + 21\) Раскроем скобки: \(2x^2 - 6x + x - 3 < x^2 + 21\) \(2x^2 - 5x - 3 < x^2 + 21\) Перенесем всё в левую часть: \(x^2 - 5x - 24 < 0\) Найдем корни уравнения \(x^2 - 5x - 24 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2\) \(x_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3\) Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, решением неравенства "меньше нуля" будет интервал между корнями. Ответ: \(x \in (-3; 8)\) Задание 4. Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 2x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \(x(x+2) > 0\) Корни: \(0\) и \(-2\). Методом интервалов получаем: \(x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)\). Второе неравенство: \(x > 0\). Найдем пересечение: Условие \(x > 0\) полностью поглощается интервалом \((0; +\infty)\) из первого решения. Ответ: \(x \in (0; +\infty)\)