Решение задачи о параллельности прямых m, n и k

Задача 1. Рассмотрим рисунок 3.51. 1) Рассмотрим прямые \(m\) и \(n\) и секущую. Соответственные углы равны \(71^{\circ}\) и \(71^{\circ}\). Так как соответственные углы равны, то прямые \(m\) и \(n\) параллельны (\(m \parallel n\)). 2) Рассмотрим прямые \(n\) и \(k\) и секущую. Внутренние односторонние углы равны \(71^{\circ}\) и \(109^{\circ}\). Найдем их сумму: \[71^{\circ} + 109^{\circ} = 180^{\circ}\] Так как сумма внутренних односторонних углов равна \(180^{\circ}\), то прямые \(n\) и \(k\) параллельны (\(n \parallel k\)). 3) Так как \(m \parallel n\) и \(n \parallel k\), то по свойству параллельности прямых \(m \parallel k\). Ответ: все три прямые параллельны между собой (\(m \parallel n \parallel k\)). Задача 2. Дано: \(MN = NK\), \(PO = OE\), \(\angle 1 = \angle 2\). Доказать: \(MN \parallel OE\). Доказательство: 1) Рассмотрим \(\triangle MNK\). Так как \(MN = NK\), то треугольник равнобедренный. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника: \[\angle NMK = \angle NKM\] Заметим, что \(\angle NKM\) и \(\angle 1\) — вертикальные, значит \(\angle NKM = \angle 1\). Следовательно, \(\angle NMK = \angle 1\). 2) Рассмотрим \(\triangle POE\). Так как \(PO = OE\), то треугольник равнобедренный. По свойству углов при основании: \[\angle OPE = \angle OEP\] Заметим, что \(\angle OPE\) и \(\angle 2\) — вертикальные, значит \(\angle OPE = \angle 2\). Следовательно, \(\angle OEP = \angle 2\). 3) По условию \(\angle 1 = \angle 2\). Из предыдущих пунктов следует: \[\angle NMK = \angle 1 = \angle 2 = \angle OEP\] То есть \(\angle NMK = \angle OEP\). 4) Рассмотрим прямые \(MN\) и \(OE\) и секущую \(ME\). Углы \(\angle NMK\) и \(\angle OEP\) являются накрест лежащими. Так как накрест лежащие углы равны, то \(MN \parallel OE\). Что и требовалось доказать. Задача 3. Дано: \(AB \parallel CD\), \(MN\) — секущая, \(M \in AB\), \(N \in CD\), \(\angle AMN = 78^{\circ}\). Найти: \(\angle CNM\). Решение: При пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(MN\) образуются пары углов. Углы \(\angle AMN\) и \(\angle CNM\) являются внутренними односторонними. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна \(180^{\circ}\): \[\angle AMN + \angle CNM = 180^{\circ}\] Отсюда находим \(\angle CNM\): \[\angle CNM = 180^{\circ} - \angle AMN\] \[\angle CNM = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}\] Также возможен случай, когда угол \(\angle CNM\) является накрест лежащим по отношению к \(\angle AMN\) (в зависимости от расположения точек \(A\) и \(C\) относительно секущей). Если они накрест лежащие, то: \[\angle CNM = \angle AMN = 78^{\circ}\] Ответ: \(102^{\circ}\) или \(78^{\circ}\).