Решение задачи: Подобие треугольников AOC и BOD

Вариант I Задача №1 Дано: \( \angle A = \angle B \), \( CO = 4 \), \( DO = 6 \), \( AO = 5 \). Найти: а) \( OB \); б) \( AC : BD \); в) \( S_{AOC} : S_{BOD} \). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( AOC \) и \( BOD \). По условию \( \angle A = \angle B \). \( \angle AOC = \angle BOD \) как вертикальные углы. Следовательно, \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \) по двум углам (первый признак подобия). 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD} \] а) Найдем \( OB \): \[ \frac{5}{OB} = \frac{4}{6} \] \[ 4 \cdot OB = 5 \cdot 6 \] \[ 4 \cdot OB = 30 \] \[ OB = 7,5 \] б) Найдем отношение \( AC : BD \): Так как \( \frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO} \), то: \[ \frac{AC}{BD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Отношение \( AC : BD = 2 : 3 \). в) Найдем отношение площадей \( S_{AOC} : S_{BOD} \): Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \( k \). \[ k = \frac{CO}{DO} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Отношение площадей равно \( 4 : 9 \). Ответ: а) \( 7,5 \); б) \( 2 : 3 \); в) \( 4 : 9 \). Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \): \( AB = 4 \) см, \( BC = 1 \) см, \( AC = 6 \) см. \( \triangle MNK \): \( MK = 8 \) см, \( MN = 12 \) см, \( KN = 14 \) см. \( \angle A = 80^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \). Найти: углы \( \triangle MNK \). Решение: Проверим подобие треугольников по трем сторонам. Найдем отношения соответствующих сторон: Заметим, что в условии \( \triangle ABC \) сумма двух сторон \( AB + BC = 4 + 1 = 5 \), что меньше третьей стороны \( AC = 6 \). Согласно неравенству треугольника, такой треугольник существовать не может. Однако, если предположить, что в условии опечатка и треугольники подобны, то углы одного равны углам другого. В \( \triangle ABC \): \( \angle C = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 40^\circ \). Если \( \triangle ABC \sim \triangle MNK \), то углы \( \triangle MNK \) будут также \( 80^\circ \), \( 60^\circ \) и \( 40^\circ \). Задача №3 Дано: \( \triangle ABC \), \( MK \parallel AC \), \( M \in AB \), \( K \in BC \). \( BM : AM = 1 : 4 \). \( P_{ABC} = 25 \) см. Найти: \( P_{BMK} \). Решение: 1. Так как \( MK \parallel AC \), то \( \triangle BMK \sim \triangle BAC \) по двум углам (\( \angle B \) — общий, \( \angle BMK = \angle BAC \) как соответственные при параллельных прямых). 2. Найдем коэффициент подобия \( k \). Известно, что \( \frac{BM}{AM} = \frac{1}{4} \). Пусть \( BM = x \), тогда \( AM = 4x \). Тогда вся сторона \( AB = BM + AM = x + 4x = 5x \). Коэффициент подобия \( k = \frac{BM}{AB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5} \). 3. Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[ \frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k \] \[ \frac{P_{BMK}}{25} = \frac{1}{5} \] \[ P_{BMK} = \frac{25}{5} = 5 \text{ см} \] Ответ: \( 5 \) см.