Решение задачи с параллельными прямыми и подобными треугольниками

Ниже представлено решение задач Варианта II, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \(PE \parallel NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MEP} : S_{MKN}\). Решение: а) Рассмотрим треугольники \(MEP\) и \(MKN\). Так как \(PE \parallel NK\), то \(\angle MEP = \angle MKN\) и \(\angle MPE = \angle MNK\) как соответствующие углы при параллельных прямых и секущих. Следовательно, \(\triangle MEP \sim \triangle MKN\) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} \] Подставим известные значения: \[ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} \] \[ 8 \cdot MK = 6 \cdot 12 \] \[ 8 \cdot MK = 72 \] \[ MK = 9 \] б) Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[ k = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Так как \(PE\) и \(NK\) — соответствующие стороны, то: \[ \frac{PE}{NK} = k = \frac{2}{3} \] Ответ: \(PE : NK = 2 : 3\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: \(S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9\). Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\). \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\). \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^\circ\). Найти: \(AC\), \(\angle C\). Решение: Рассмотрим отношение сторон треугольников, прилежащих к равному углу (\(\angle B = \angle N = 70^\circ\)): \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = 2\). Из подобия следует: 1) \( \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = k \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \) см. 2) Соответственные углы равны: \(\angle C = \angle K = 60^\circ\). Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^\circ\). Задача 3. Дано: \(AB \cap CD = O\), \(\angle ACO = \angle BDO\), \(AO : OB = 2 : 3\). \(P_{BOD} = 21\) см. Найти: \(P_{ACO}\). Решение: Рассмотрим \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\). 1) \(\angle ACO = \angle BDO\) (по условию). 2) \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответственных сторон: \[ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} \] Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k \] \[ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ 3 \cdot P_{ACO} = 2 \cdot 21 \] \[ 3 \cdot P_{ACO} = 42 \] \[ P_{ACO} = 14 \] см. Ответ: \(P_{ACO} = 14\) см.