Решение задачи 31: Вписанный четырехугольник и подобие

Задача 31 Все четыре задачи решаются на основе свойства вписанного четырехугольника и подобия треугольников. Теоретическое обоснование: Если четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\). Отсюда следует, что внешний угол при вершине \(B\) равен внутреннему углу \(D\). Таким образом, треугольник \(KBC\) подобен треугольнику \(KDA\) по двум углам (угол \(K\) — общий, \(\angle KBC = \angle KDA\)). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} = \frac{CK}{AK} \] Решение задачи №1 Дано: \(BK = 8\), \(DK = 12\), \(BC = 6\). Найти \(AD\). 1. Рассмотрим \(\triangle KBC\) и \(\triangle KDA\). Они подобны по двум углам. 2. Составим пропорцию: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} \] 3. Подставим известные значения: \[ \frac{6}{AD} = \frac{8}{12} \] 4. Выразим \(AD\): \[ AD = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 \] Ответ: 9. Решение задачи №2 Дано: \(BK = 7\), \(DK = 14\), \(BC = 10\). Найти \(AD\). 1. Из подобия \(\triangle KBC \sim \triangle KDA\) имеем: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} \] 2. Подставим значения: \[ \frac{10}{AD} = \frac{7}{14} \] 3. Заметим, что \(\frac{7}{14} = \frac{1}{2}\), тогда: \[ \frac{10}{AD} = \frac{1}{2} \] \[ AD = 10 \cdot 2 = 20 \] Ответ: 20. Решение задачи №3 Дано: \(BK = 18\), \(DK = 9\), \(BC = 16\). Найти \(AD\). 1. Из подобия \(\triangle KBC \sim \triangle KDA\) имеем: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} \] 2. Подставим значения: \[ \frac{16}{AD} = \frac{18}{9} \] 3. Так как \(\frac{18}{9} = 2\), получаем: \[ \frac{16}{AD} = 2 \] \[ AD = \frac{16}{2} = 8 \] Ответ: 8. Решение задачи №4 Дано: \(BK = 6\), \(DK = 10\), \(BC = 12\). Найти \(AD\). 1. Из подобия \(\triangle KBC \sim \triangle KDA\) имеем: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK} \] 2. Подставим значения: \[ \frac{12}{AD} = \frac{6}{10} \] 3. Выразим \(AD\): \[ AD = \frac{12 \cdot 10}{6} = 2 \cdot 10 = 20 \] Ответ: 20.