Решение задачи: График функции y = (6 - 3x) / (x^2 - 2x)

Задание: Постройте график функции \( y = \frac{6 - 3x}{x^2 - 2x} \). Найдите, при каком значении \( k \) прямая \( y = k \) не имеет с графиком общих точек. Решение: 1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: \[ x^2 - 2x \neq 0 \] \[ x(x - 2) \neq 0 \] \[ x \neq 0 \text{ и } x \neq 2 \] Следовательно, область определения: \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty) \). 2. Упростим выражение функции: \[ y = \frac{6 - 3x}{x^2 - 2x} = \frac{-3(x - 2)}{x(x - 2)} \] Сократим на \( (x - 2) \), учитывая, что \( x \neq 2 \): \[ y = -\frac{3}{x} \] Таким образом, графиком данной функции является гипербола \( y = -\frac{3}{x} \) с "выколотой" точкой, абсцисса которой \( x = 2 \). 3. Найдем координаты "выколотой" точки: Подставим \( x = 2 \) в упрощенное уравнение: \[ y = -\frac{3}{2} = -1,5 \] Точка с координатами \( (2; -1,5) \) будет отсутствовать на графике. 4. Построение графика: Графиком является гипербола, расположенная во второй и четвертой четвертях. Она имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \) (ось \( Ox \)). 5. Определение значений \( k \): Прямая \( y = k \) — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком в двух случаях: а) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. Для функции \( y = -\frac{3}{x} \) асимптотой является \( y = 0 \). Значит, при \( k = 0 \) точек пересечения нет. б) Если прямая проходит через "выколотую" точку графика. Мы нашли, что при \( x = 2 \) значение функции должно было быть \( y = -1,5 \). Значит, при \( k = -1,5 \) прямая пройдет через пустое место в графике и не пересечет его. Ответ: \( k = 0 \); \( k = -1,5 \).