Решение задачи: График функции и прямая y = kx

Задание: Постройте график функции \( y = \frac{|x| - 3}{x^2 - 3|x|} \). Найдите, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) не имеет с графиком общих точек. В ответ запишите сумму всех найденных значений \( k \). Решение: 1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю. Учитывая, что \( x^2 = |x|^2 \), запишем: \[ |x|^2 - 3|x| \neq 0 \] \[ |x|(|x| - 3) \neq 0 \] Отсюда \( |x| \neq 0 \) и \( |x| \neq 3 \). Значит, \( x \neq 0 \), \( x \neq 3 \), \( x \neq -3 \). 2. Упростим выражение функции на всей области определения: \[ y = \frac{|x| - 3}{|x|(|x| - 3)} \] Сокращаем на \( (|x| - 3) \): \[ y = \frac{1}{|x|} \] Таким образом, график функции — это график \( y = \frac{1}{|x|} \) с "выколотыми" точками, где \( |x| = 3 \). 3. Найдем координаты "выколотых" точек: Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{1}{3} \). Точка \( A(3; \frac{1}{3}) \). Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{1}{|-3|} = \frac{1}{3} \). Точка \( B(-3; \frac{1}{3}) \). 4. Анализ прямой \( y = kx \): Это прямая, проходящая через начало координат \( (0; 0) \). Она не будет иметь общих точек с графиком \( y = \frac{1}{|x|} \) в следующих случаях: а) Если прямая проходит через "выколотые" точки \( A \) или \( B \). Для точки \( A(3; \frac{1}{3}) \): \[ \frac{1}{3} = k \cdot 3 \implies k = \frac{1}{9} \] Для точки \( B(-3; \frac{1}{3}) \): \[ \frac{1}{3} = k \cdot (-3) \implies k = -\frac{1}{9} \] б) Если прямая не пересекает ветви гиперболы \( y = \frac{1}{x} \) (при \( x > 0 \)) и \( y = -\frac{1}{x} \) (при \( x < 0 \)). Поскольку ветви гиперболы \( y = \frac{1}{|x|} \) всегда находятся выше оси \( Ox \) (так как \( y > 0 \)), любая прямая \( y = kx \), лежащая в нижней полуплоскости или на оси \( Ox \), не будет иметь пересечений. Однако, прямая \( y = kx \) при \( k > 0 \) обязательно пересечет правую ветвь, а при \( k < 0 \) — левую ветвь, за исключением случаев прохождения через "дырки". Единственный случай, когда прямая не пересекает график вообще (кроме выколотых точек) — это когда она горизонтальна: \[ k = 0 \] (Прямая \( y = 0 \) не имеет общих точек с \( y = \frac{1}{|x|} \), так как \( \frac{1}{|x|} \) никогда не равно 0). 5. Находим сумму всех найденных значений \( k \): Значения \( k \), при которых нет общих точек: \( -\frac{1}{9} \), \( 0 \), \( \frac{1}{9} \). Сумма: \[ S = -\frac{1}{9} + 0 + \frac{1}{9} = 0 \] Ответ: 0