Решение задачи: Найдите AH в треугольнике ABC

Задание: В треугольнике \( ABC \) проведены медиана \( BM \) и высота \( BH \). Известно, что \( AC = 84 \) и \( BC = BM \). Найдите \( AH \). Решение: 1. Рассмотрим медиану \( BM \). По определению медианы, точка \( M \) делит сторону \( AC \) пополам: \[ AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \] 2. Рассмотрим треугольник \( BMC \). По условию задачи \( BC = BM \). Следовательно, треугольник \( BMC \) является равнобедренным с основанием \( MC \). 3. В равнобедренном треугольнике \( BMC \) отрезок \( BH \) является высотой, проведенной к основанию \( MC \). По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, точка \( H \) делит отрезок \( MC \) пополам: \[ MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] 4. Отрезок \( AH \) состоит из суммы отрезков \( AM \) и \( MH \): \[ AH = AM + MH \] Подставим найденные значения: \[ AH = 42 + 21 = 63 \] Ответ: 63