Решение уравнения: x^2/(x^2-9)=(12-x)/(x^2-9) и 6/(x-2)+5/x=3

Вариант 1 Задание 1. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2}{x^2 - 9} = \frac{12 - x}{x^2 - 9}\) Решение: Перенесем все в одну сторону: \[\frac{x^2 - (12 - x)}{x^2 - 9} = 0\] \[\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 9} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) ОДЗ: \(x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, x \neq -3\). 2) \(x^2 + x - 12 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -1\) \(x_1 \cdot x_2 = -12\) Корни: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 3\). С учетом ОДЗ, корень \(x = 3\) является посторонним. Ответ: -4. б) \(\frac{6}{x - 2} + \frac{5}{x} = 3\) Решение: ОДЗ: \(x \neq 2, x \neq 0\). Приведем к общему знаменателю \(x(x - 2)\): \[\frac{6x + 5(x - 2)}{x(x - 2)} = 3\] \[6x + 5x - 10 = 3x(x - 2)\] \[11x - 10 = 3x^2 - 6x\] \[3x^2 - 17x + 10 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169 = 13^2\] \[x_1 = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5\] \[x_2 = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: 2/3; 5. Задание 2. Задача. Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста из А в В. Тогда \((x - 3)\) км/ч — скорость на обратном пути. Путь из А в В: \(S_1 = 27\) км. Путь обратно: \(S_2 = 27 - 7 = 20\) км. Время из А в В: \(t_1 = \frac{27}{x}\) ч. Время обратно: \(t_2 = \frac{20}{x - 3}\) ч. По условию \(t_2\) меньше \(t_1\) на 10 минут. Переведем минуты в часы: \(10 \text{ мин} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) ч. Составим уравнение: \[\frac{27}{x} - \frac{20}{x - 3} = \frac{1}{6}\] Приведем к общему знаменателю \(6x(x - 3)\): \[6 \cdot 27(x - 3) - 6 \cdot 20x = x(x - 3)\] \[162x - 486 - 120x = x^2 - 3x\] \[42x - 486 = x^2 - 3x\] \[x^2 - 45x + 486 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81 = 9^2\] \[x_1 = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[x_2 = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\] Проверим условие \(x > 3\) (так как скорость на обратном пути \(x-3\)). Оба корня подходят. Обычно в таких задачах подразумевается одно решение, но здесь математически верны оба значения скорости. Ответ: 18 км/ч или 27 км/ч.