Решение уравнений: (3x+4)/(x^2-16) = x^2/(x^2-16) и 8/(x-5) + 8/x = 2 - Вариант 2

Вариант 2 Задание 1. Решите уравнение: а) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\) Решение: Перенесем все слагаемые в одну сторону: \[\frac{3x+4-x^2}{x^2-16} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) ОДЗ: \(x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4, x \neq -4\). 2) Решаем числитель: \[-x^2 + 3x + 4 = 0\] \[x^2 - 3x - 4 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 3\] \[x_1 \cdot x_2 = -4\] Отсюда \(x_1 = 4\), \(x_2 = -1\). С учетом ОДЗ, корень \(x = 4\) является посторонним. Ответ: -1. б) \(\frac{8}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\) Решение: ОДЗ: \(x \neq 5, x \neq 0\). Приведем к общему знаменателю \(x(x-5)\): \[\frac{8x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\] \[8x + 8x - 40 = 2(x^2 - 5x)\] \[16x - 40 = 2x^2 - 10x\] Разделим все уравнение на 2: \[8x - 20 = x^2 - 5x\] \[x^2 - 13x + 20 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 169 - 80 = 89\] Корни уравнения: \[x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{89}}{2}\] Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: \(\frac{13 \pm \sqrt{89}}{2}\). Задание 2. Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера (\(x > 3\)). Тогда скорость по течению: \((x + 3)\) км/ч, скорость против течения: \((x - 3)\) км/ч. Время против течения: \(\frac{12}{x-3}\) ч. Время по течению: \(\frac{5}{x+3}\) ч. Время по озеру (со стоячей водой): \(\frac{18}{x}\) ч. По условию задачи составим уравнение: \[\frac{12}{x-3} + \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x}\] Приведем к общему знаменателю \(x(x-3)(x+3)\): \[12x(x+3) + 5x(x-3) = 18(x^2-9)\] \[12x^2 + 36x + 5x^2 - 15x = 18x^2 - 162\] \[17x^2 + 21x = 18x^2 - 162\] \[x^2 - 21x - 162 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2\] \[x_1 = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[x_2 = \frac{21 - 33}{2} = -6\] (не подходит, так как скорость должна быть положительной). Ответ: 27 км/ч.