Решение задач 4-6: системы и квадратные неравенства

Задание 4. Решим систему неравенств: \[ \begin{cases} -35 + 5x < 0 \\ 6 - 3x > -18 \end{cases} \] 1) Решим первое неравенство: \( 5x < 35 \) \( x < 7 \) 2) Решим второе неравенство: \( -3x > -18 - 6 \) \( -3x > -24 \) При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: \( x < 8 \) Система принимает вид: \[ \begin{cases} x < 7 \\ x < 8 \end{cases} \] Общим решением является \( x < 7 \). Это соответствует рисунку под номером 2. ОТВЕТ: 2 Задание 5. Решим неравенство: \( 25x^2 \ge 4 \) \( x^2 \ge \frac{4}{25} \) \( |x| \ge \frac{2}{5} \) \( |x| \ge 0,4 \) Это означает, что \( x \le -0,4 \) или \( x \ge 0,4 \). Данное решение изображено на рисунке под номером 2. ОТВЕТ: 2 Задание 6. Решим неравенство: \( x^2 - 6x - 27 < 0 \) Найдем корни уравнения \( x^2 - 6x - 27 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \) \( x_1 \cdot x_2 = -27 \) Корни: \( x_1 = 9 \), \( x_2 = -3 \). Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола ветвями вверх. Значения меньше нуля находятся между корнями: \( -3 < x < 9 \). Это соответствует рисунку под номером 4. ОТВЕТ: 4 Задание 7. Укажите неравенство, которое не имеет решений. Рассмотрим выражение \( x^2 + 6x + 33 \). Найдем дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 36 - 132 = -96 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, выражение \( x^2 + 6x + 33 \) всегда больше нуля при любом \( x \). Следовательно, неравенство \( x^2 + 6x + 33 < 0 \) не имеет решений. ОТВЕТ: 4 Задание 8. На рисунке заштрихованы области \( x \le -7 \) и \( x \ge 7 \). Это соответствует неравенству \( x^2 \ge 49 \), что можно записать как \( x^2 - 49 \ge 0 \). ОТВЕТ: 3 Задание 9. Решите неравенство: \( x^2 - 4x \ge 21 \) \( x^2 - 4x - 21 \ge 0 \) Найдем корни уравнения \( x^2 - 4x - 21 = 0 \): \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \) \( x = \frac{4 \pm 10}{2} \) \( x_1 = 7 \), \( x_2 = -3 \). Так как знак \( \ge \), решением являются промежутки по краям от корней: \( x \in (-\infty; -3] \cup [7; +\infty) \) ОТВЕТ: \( (-\infty; -3] \cup [7; +\infty) \)