Решение задачи: Динамика ракеты (Вариант 3)

Решение задачи (Вариант 3) Дано: Вес ракеты \(G\), сила тяги \(P\), угол наклона \(\alpha\), длина направляющих \(AB = l\), начальная высота \(h\), конечная высота активного участка \(H\), коэффициент трения \(f = 0,2\). Ускорение свободного падения \(g \approx 9,81\) м/с\(^2\). Масса ракеты \(m = \frac{G}{g}\). 1. Участок AB (движение в направляющих) На ракету действуют: сила тяги \(P\), сила тяжести \(G\), сила трения \(F_{тр}\) и нормальная реакция \(N\). Ось \(x_1\) направим вдоль направляющих от A к B. Уравнение движения по второму закону Ньютона: \[ m \cdot a_1 = P - G \cdot \sin(\alpha) - F_{тр} \] Так как \(N = G \cdot \cos(\alpha)\), то \(F_{тр} = f \cdot G \cdot \cos(\alpha)\). Ускорение на участке AB: \[ a_1 = \frac{g}{G} \cdot (P - G \cdot \sin(\alpha) - f \cdot G \cdot \cos(\alpha)) \] Уравнение скорости: \[ v_1(t) = a_1 \cdot t \] Уравнение движения: \[ s_1(t) = \frac{a_1 \cdot t^2}{2} \] В точке B: \(s_1(t_B) = l\). Отсюда время движения \(t_B = \sqrt{\frac{2l}{a_1}}\) и скорость \(v_B = a_1 \cdot t_B = \sqrt{2 \cdot a_1 \cdot l}\). Координаты точки B: \(x_B = l \cdot \cos(\alpha)\), \(y_B = h + l \cdot \sin(\alpha)\). 2. Участок BD (активный полет под углом \(\alpha\)) Движение происходит под действием силы \(P\) и силы тяжести \(G\). Сопротивление воздуха не учитывается. Ускорение вдоль траектории: \[ a_2 = \frac{P - G \cdot \sin(\alpha)}{m} = g \cdot \left(\frac{P}{G} - \sin(\alpha)\right) \] Уравнение скорости (отсчет времени \(t\) от точки B): \[ v_2(t) = v_B + a_2 \cdot t \] Координаты точки D определяются высотой \(H\). Вертикальная составляющая скорости \(v_y = v \cdot \sin(\alpha)\). Разность высот: \(H - y_B = v_B \cdot \sin(\alpha) \cdot t_D + \frac{a_2 \cdot \sin(\alpha) \cdot t_D^2}{2}\). Из этого квадратного уравнения находится время \(t_D\), затем скорость \(v_D = v_B + a_2 \cdot t_D\) и горизонтальное смещение. 3. Участок DME (свободный полет) После точки D сила \(P\) не действует. Ракета движется только под действием силы тяжести (баллистическая траектория). Начальные условия в точке D: скорость \(v_D\), угол \(\alpha\), координаты \(x_D, y_D = H\). Уравнения движения (отсчет времени от точки D): \[ x(t) = x_D + v_D \cdot \cos(\alpha) \cdot t \] \[ y(t) = H + v_D \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \] Уравнения скоростей: \[ v_x(t) = v_D \cdot \cos(\alpha) \] \[ v_y(t) = v_D \cdot \sin(\alpha) - g \cdot t \] Точка M (максимальная высота): В этой точке \(v_y = 0\). Время подъема: \(t_M = \frac{v_D \cdot \sin(\alpha)}{g}\). Максимальная высота: \(y_M = H + \frac{(v_D \cdot \sin(\alpha))^2}{2g}\). Точка E (падение на землю): Условие \(y(t_E) = 0\). \[ 0 = H + v_D \cdot \sin(\alpha) \cdot t_E - \frac{g \cdot t_E^2}{2} \] Решая это уравнение, находим полное время полета \(t_E\) и координату \(x_E\). Скорость в точке E: \(v_E = \sqrt{v_x^2 + v_y(t_E)^2}\).