Решение: Разложение выражений (x-4)³+8 и (a-3)³+a³

Для решения этой задачи воспользуемся формулами суммы кубов \( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \) и разности кубов \( A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \). Ниже приведены пошаговые преобразования для каждой пары: 1) Разложим первое выражение как сумму кубов, где \( A = x - 4 \), а \( B = 2 \) (так как \( 8 = 2^3 \)): \[ (x - 4)^3 + 8 = (x - 4 + 2)((x - 4)^2 - 2(x - 4) + 4) \] \[ = (x - 2)(x^2 - 8x + 16 - 2x + 8 + 4) = (x - 2)(x^2 - 10x + 28) \] Соответствие: \( (x - 4)^3 + 8 \longleftrightarrow (x - 2)(x^2 - 10x + 28) \) 2) Разложим второе выражение как сумму кубов, где \( A = a - 3 \), а \( B = a \): \[ (a - 3)^3 + a^3 = (a - 3 + a)((a - 3)^2 - a(a - 3) + a^2) \] \[ = (2a - 3)(a^2 - 6a + 9 - a^2 + 3a + a^2) = (2a - 3)(a^2 - 3a + 9) \] Соответствие: \( (a - 3)^3 + a^3 \longleftrightarrow (2a - 3)(a^2 - 3a + 9) \) 3) Разложим третье выражение, представив \( 8(a - 1)^3 \) как \( (2(a - 1))^3 \). Здесь \( A = 2a - 2 \), а \( B = a \): \[ (2a - 2)^3 + a^3 = (2a - 2 + a)((2a - 2)^2 - a(2a - 2) + a^2) \] \[ = (3a - 2)(4a^2 - 8a + 4 - 2a^2 + 2a + a^2) = (3a - 2)(3a^2 - 6a + 4) \] Соответствие: \( 8(a - 1)^3 + a^3 \longleftrightarrow (3a - 2)(3a^2 - 6a + 4) \) 4) Разложим четвертое выражение как разность кубов, где \( A = 2x \), а \( B = x - 1 \): \[ (2x)^3 - (x - 1)^3 = (2x - (x - 1))((2x)^2 + 2x(x - 1) + (x - 1)^2) \] \[ = (2x - x + 1)(4x^2 + 2x^2 - 2x + x^2 - 2x + 1) = (x + 1)(7x^2 - 4x + 1) \] Соответствие: \( 8x^3 - (x - 1)^3 \longleftrightarrow (x + 1)(7x^2 - 4x + 1) \) Итоговые пары для тетради: 1. \( (x - 4)^3 + 8 = (x - 2)(x^2 - 10x + 28) \) 2. \( (a - 3)^3 + a^3 = (2a - 3)(a^2 - 3a + 9) \) 3. \( 8(a - 1)^3 + a^3 = (3a - 2)(3a^2 - 6a + 4) \) 4. \( 8x^3 - (x - 1)^3 = (x + 1)(7x^2 - 4x + 1) \)