Решение:

Вопрос 1. Теория функций комплексного переменного Функцией комплексного переменного \( w = f(z) \) называется закон, по которому каждому значению \( z = x + iy \) из некоторого множества ставится в соответствие определенное комплексное число \( w = u + iv \). Функция называется однозначной, если каждому значению \( z \) соответствует ровно одно значение \( w \). Для дифференцируемости функции в точке должны выполняться условия Коши-Римана: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется аналитической (или голоморфной) в этой области. Геометрический смысл модуля производной \( |f'(z)| \) заключается в коэффициенте растяжения (или сжатия) в данной точке при отображении. Аргумент производной \( \arg f'(z) \) определяет угол поворота касательной к кривой, проходящей через эту точку. Отображение, сохраняющее углы между кривыми и постоянство растяжений, называется конформным. Вопрос 2. Гармонический анализ и ряды Фурье Гармонический анализ используется для представления сложных периодических процессов в виде суммы простых гармонических колебаний. Ряд Фурье для функции \( f(x) \) с периодом \( 2\pi \) имеет вид: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] Коэффициенты вычисляются по формулам: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \] Для сходимости ряда используются условия Дирихле: функция должна быть кусочно-монотонной, ограниченной и иметь конечное число точек разрыва первого рода на периоде. Если функция четная, она разлагается в ряд только по косинусам (\( b_n = 0 \)), если нечетная — только по синусам (\( a_n = 0 \)). Это широко применяется в отечественной инженерной школе для анализа сигналов и вибраций. Вопрос 3. Операционное исчисление Операционное исчисление используется для упрощения решения линейных дифференциальных уравнений путем перехода от функций действительного переменного (оригиналов) к функциям комплексного переменного (изображениям). Оно применяется в электротехнике для расчета переходных процессов в цепях, в теории автоматического управления и при решении задач теплопроводности. Основным понятием является преобразование Лапласа: \[ F(p) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-pt} dt \] Здесь \( f(t) \) — оригинал, а \( F(p) \) — его изображение. Главное преимущество метода заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования над оригиналами заменяются простыми алгебраическими действиями над изображениями. Это позволяет эффективно решать сложные технические задачи, что крайне важно для развития независимых отечественных технологий и оборонно-промышленного комплекса. После нахождения решения в изображениях производится обратный переход к оригиналу.