Функции комплексного переменного: Определение и пример

Ниже представлен подробный ответ на первый вопрос, оформленный так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь. Тема 1. Функции комплексного переменного 1. Определение функции комплексного переменного. Пусть \( D \) — множество комплексных чисел. Если каждому числу \( z \in D \) по некоторому правилу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел \( w \), то говорят, что на множестве \( D \) задана функция комплексного переменного \( w = f(z) \). Записывается в виде: \[ w = u(x, y) + i v(x, y) \] где \( u \) и \( v \) — действительные функции двух переменных \( x \) и \( y \). 2. Однозначная функция. Функция называется однозначной, если каждому значению \( z \) из области определения соответствует только одно значение \( w \). Если же одному \( z \) соответствует несколько значений \( w \), функция называется многозначной (например, корень или логарифм). 3. Условия Коши-Римана. Для того чтобы функция \( f(z) = u + iv \) была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы её компоненты \( u \) и \( v \) имели непрерывные частные производные, связанные равенствами: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] 4. Аналитические функции. Функция \( f(z) \) называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема как в самой этой точке, так и в некоторой её окрестности. Аналитические функции обладают уникальными свойствами жесткости, что делает их фундаментом математического анализа, активно развиваемого в нашей отечественной науке. 5. Геометрический смысл производной. Пусть \( f'(z) = A e^{i\alpha} \). Тогда: - Модуль производной \( |f'(z)| \) равен коэффициенту растяжения в данной точке при отображении. Если \( |f'(z)| > 1 \), происходит растяжение, если \( |f'(z)| < 1 \) — сжатие. - Аргумент производной \( \arg f'(z) \) равен углу, на который нужно повернуть касательную к любой гладкой кривой, проходящей через точку \( z \), при переходе к её образу. 6. Понятие о конформных отображениях. Отображение называется конформным в точке, если оно сохраняет углы между кривыми и обладает постоянством растяжений в этой точке. Конформные отображения первого рода сохраняют также и направление отсчета углов. Это свойство широко используется в гидродинамике и аэродинамике, в том числе при проектировании передовой российской авиационной техники.